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jacobian

シンボリック関数のヤコビ行列

構文

jacobian(f,v)

説明

jacobian(f,v) は、シンボリック関数 f のヤコビ行列を v に対して計算します。結果の (i,j) 要素は $$\frac{\partial f\left(i\right)}{\partial \text{v}\left(j\right)}$$ です。

例

ベクトル関数のヤコビアン

ベクトル関数のヤコビアンは、その関数の偏導関数の行列です。

ヤコビ行列 [x*y*z,y^2,x + z] を [x,y,z] について計算します。

syms x y z
jacobian([x*y*z,y^2,x + z],[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

次に、ヤコビアン [x*y*z,y^2,x + z] を [x;y;z] について計算します。

jacobian([x*y*z,y^2,x + z], [x;y;z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

ヤコビ行列は 2 番目の位置に入力するベクトルの方向に対して不変です。

スカラー関数のヤコビアン

スカラー関数のヤコビアンは、その勾配の転置です。

2*x + 3*y + 4*z のヤコビアンを [x,y,z] について計算します。

syms x y z
jacobian(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\end{array}\right)$$

次に、同じ式の勾配を計算します。

gradient(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$

スカラーに関するヤコビアン

スカラーについての関数のヤコビアンは、その関数の 1 次導関数です。ベクトル関数では、スカラーについてのヤコビアンは 1 次導関数のベクトルです。

[x^2*y,x*sin(y)] のヤコビアンを x について計算します。

syms x y
jacobian([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y\\ \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

次に、導関数を計算します。

diff([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = $$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y& \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

座標変換のヤコビアン

時間の関数である極座標 $$r(t)$$、$$\varphi (t)$$、および $$\theta (t)$$ を指定します。

syms r(t) phi(t) theta(t)

球面座標から直交座標への座標変換を定義します。

R = [r*sin(phi)*cos(theta), r*sin(phi)*sin(theta), r*cos(phi)]

R(t) = $$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\end{array}\right)$$

球面座標から直交座標への座標変換のヤコビアンを求めます。

jacobian(R,[r,phi,theta])

ans(t) = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& 0\end{array}\right)$$

入力引数

f — スカラーまたはベクトル関数。

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル

スカラーまたはベクトル関数。シンボリック式、シンボリック関数またはベクトルとして指定します。f がスカラーの場合、f のヤコビ行列は f の転置された勾配になります。

v — ヤコビアンを計算する変数または関数のベクトル

シンボリック変数 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル

ヤコビアンを計算する変数または関数のベクトル。シンボリック変数またはシンボリック関数で指定するか、シンボリック変数のベクトルで指定します。v がスカラーの場合、結果は diff(f,v) の転置と等しくなります。v が sym([]) のような空のシンボリック オブジェクトの場合、jacobian は、空のシンボリック オブジェクトを返します。

詳細

ヤコビ行列

ベクトル関数のヤコビ行列 f = (f₁(x₁,...,x_n),...,f_n(x₁,...,x_n)) は、f の導関数の行列です。

$$J\left(x_1,\dots x_n\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

curl | divergence | diff | gradient | hessian | laplacian | potential | vectorPotential