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diff

シンボリック式または関数の微分

構文

Df = diff(f)

Df = diff(f,n)

Df = diff(f,var)

Df = diff(f,var,n)

Df = diff(f,var1,...,varN)

Df = diff(f,mvar)

説明

Df = diff(f) は、symvar(f,1) で決まるシンボリック スカラー変数について f を微分します。

Df = diff(f,n) は、symvar で決まるシンボリック スカラー変数について f の n 階微分を計算します。

Df = diff(f,var) は、微分パラメーター var について f を微分します。var には、x などのシンボリック スカラー変数、f(x) などのシンボリック関数、または diff(f(t),t) などの導関数を指定できます。

Df = diff(f,var,n) は、var について f の n 階微分を計算します。

Df = diff(f,var1,...,varN) は、パラメーター var1,...,varN について f を微分します。

Df = diff(f,mvar) は、symmatrix 型のシンボリック行列変数 mvar について f を微分します。

例

微分関数

関数 sin(x^2) の微分を求めます。

syms f(x)
f(x) = sin(x^2);
Df = diff(f,x)

Df(x) = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x^2\right)$$

x = 2 における微分値を求めます。結果を double に変換します。

Df2 = Df(2)

Df2 = $$4\hspace{0.17em}\cos \left(4\right)$$

double(Df2)

ans = -2.6146

特定の変数についての微分

この式の 1 階微分を求めます。

syms x t
Df = diff(sin(x*t^2))

Df = $$t^2\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

微分の変数を指定していないため、diff では symvar で定義される既定の変数が使用されます。この式では、既定の変数は x です。

var = symvar(sin(x*t^2),1)

var = $$x$$

次に、変数 t について、この式の 1 階微分を求めます。

Df = diff(sin(x*t^2),t)

Df = $$2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

一変数式の高階数微分

$$t^6$$ の 4 階、5 階および 6 階微分を求めます。

syms t
D4 = diff(t^6,4)

D4 = $$360\hspace{0.17em}{t}^2$$

D5 = diff(t^6,5)

D5 = $$720\hspace{0.17em}t$$

D6 = diff(t^6,6)

D6 = $$720$$

多変数式の特定の変数の高階数微分

変数 y について、この式の 2 階微分を求めます。

syms x y
Df = diff(x*cos(x*y), y, 2)

Df = $$-x^3\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

多変数式の既定変数の高階数微分

式 x*y の 2 階微分を計算します。微分の変数を指定しない場合、diff では symvar によって決まる変数が使用されます。この式では、symvar(x*y,1) は x を返します。したがって、diff は x*y の x についての 2 階微分を計算します。

syms x y
Df = diff(x*y,2)

Df = $$0$$

入れ子にされた diff の呼び出しを使用し、微分の変数を指定しない場合、diff は呼び出しごとに微分の変数を決定します。たとえば、関数 diff を 2 回呼び出して、式 x*y を微分します。

Df = diff(diff(x*y))

Df = $$1$$

最初の diff の呼び出しでは、x について x*y を微分し、y を返します。2 回目の呼び出しでは、diff は y について y を微分し、1 を返します。

したがって、diff(x*y,2) は diff(x*y,x,x) と等価で、diff(diff(x*y)) は diff(x*y,x,y) と等価です。

混合微分

この式を変数 x と y について微分します。

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,y)

Df = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-x^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

また、すべての微分変数を与えることで、高階数混合微分を計算することもできます。

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,x,x,y)

Df = $$x^2\hspace{0.17em}{y}^3\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{y}^2\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

関数および導関数についての微分

$$f(x)$$ についての関数 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ の微分を求めます。

syms f(x) y
y = f(x)^2*diff(f(x),x);
Dy = diff(y,f(x))

Dy = 
$$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

$$f(x)$$ についての関数 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ の 2 階微分を求めます。

Dy2 = diff(y,f(x),2)

Dy2 = 
$$2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

$$f(x)$$ および $$\frac{df}{dx}$$ についての関数 $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ の混合微分を求めます。

Dy3 = diff(y,f(x),diff(f(x)))

Dy3 = $$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)$$

オイラー・ラグランジュ方程式

ばね質量系の運動を表すオイラー・ラグランジュ方程式を求めます。系の運動エネルギーと位置エネルギーを定義します。

syms x(t) m k
T = m/2*diff(x(t),t)^2;
V = k/2*x(t)^2;

ラグランジュ関数を定義します。

L = T - V

L = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

オイラー・ラグランジュ方程式は次式で与えられます。

$$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,x,\underset{}{\overset{\dot{}}{x}})}{\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}-\frac{\partial L(t,x,\underset{}{\overset{\dot{}}{x}})}{\partial x}$$

項 $$\partial L/\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}$$ を評価します。

D1 = diff(L,diff(x(t),t))

D1 = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)$$

2 番目の項 $$\partial L/\partial x$$ を評価します。

D2 = diff(L,x)

D2(t) = $$-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)$$

ばね質量系の運動を表すオイラー・ラグランジュ方程式を求めます。

diff(D1,t) - D2 == 0

ans(t) = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)+k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

ベクトルについての微分

ベクトルについて微分を評価するために、シンボリック行列変数を使用できます。たとえば、式 $$\alpha =y^{T}Ax$$ の微分 $$\partial \alpha /\partial x$$ および $$\partial \alpha /\partial y$$ を求めます。ここで、$$y$$ は 3 行 1 列のベクトルであり、$$A$$ は 3 行 4 列の行列であり、$$x$$ は 4 行 1 列のベクトルです。

適切なサイズをもつ 3 つのシンボリック行列変数 x、y、および A を作成し、それらを使用して alpha を定義します。

syms x [4 1] matrix
syms y [3 1] matrix
syms A [3 4] matrix
alpha = y.'*A*x

alpha = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x$$

ベクトル $$x$$ および $$y$$ について alpha の微分を求めます。

Dx = diff(alpha,x)

Dx = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A$$

Dy = diff(alpha,y)

Dy = $$x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}$$

行列についての微分

行列について微分を評価するために、シンボリック行列変数を使用できます。たとえば、式 $$Y=X^{T}AX$$ の微分 $$\partial Y/\partial A$$ を求めます。ここで、$$X$$ は 3 行 1 列のベクトルであり、$$A$$ は 3 行 3 列の行列です。ここで、$$Y$$ は、ベクトル $$X$$ および行列 $$A$$ の関数であるスカラーです。

$$X$$ および $$A$$ を表す 2 つのシンボリック行列変数を作成します。$$Y$$ を定義します。

syms X [3 1] matrix
syms A [3 3] matrix
Y = X.'*A*X

Y = $$X^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}X$$

行列 $$A$$ について $$Y$$ の微分を求めます。

D = diff(Y,A)

D = $$X^{\mathrm{T}}\otimes X$$

結果は、$$X^T$$ と $$X$$ のクロネッカー テンソル積であり、3 行 3 列の行列となります。

size(D)

ans = 1×2

     3     3

シンボリック行列関数の微分

シンボリック行列関数を行列引数について微分します。

関数 $\mathit{t}\left(\mathit{X}\right)=\mathit{A}\cdot \sin \left(\mathit{B}\cdot \mathit{X}\right)$ の微分を求めます。ここで、$\mathit{A}$ は 1 行 3 列の行列、$\mathit{B}$ は 3 行 2 列の行列、$\mathit{X}$ は 2 行 1 列の行列です。$\mathit{A}$、$\mathit{B}$、および $\mathit{X}$ をシンボリック行列変数として、$\mathit{t}\left(\mathit{X}\right)$ をシンボリック行列関数として作成します。

syms A [1 3] matrix
syms B [3 2] matrix
syms X [2 1] matrix
syms t(X) [1 1] matrix keepargs
t(X) = A*sin(B*X)

t(X) = $$A\hspace{0.17em}\sin \left(B\hspace{0.17em}X\right)$$

diff を使用して、$\mathit{X}$ について関数を微分します。

Dt = diff(t,X)

Dt(X) = $$A\hspace{0.17em}\left(\cos \left(B\hspace{0.17em}X\right)\odot B\right)$$

入力引数

f — 微分する式または関数

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック行列変数 | シンボリック行列関数

微分する式または関数。以下のいずれかの値として指定します。

• シンボリック式

• シンボリック関数

• シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列 (シンボリック式もしくは関数のベクトルまたは行列)

• シンボリック行列変数

• シンボリック行列関数

f がシンボリック ベクトルまたはシンボリック行列の場合、diff は f の各要素を微分し、f と同じサイズのベクトルまたは行列を返します。

データ型: single | double | sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

n — 微分の次数

非負の整数

微分の次数。非負の整数として指定します。

var — 微分パラメーター

シンボリック スカラー変数 | シンボリック関数 | 導関数

微分パラメーター。関数 diff を使用して作成されたシンボリック スカラー変数、シンボリック関数、または導関数として指定します。

シンボリック関数 var = f(x) または導関数 var = diff(f(x),x) について微分を指定する場合、最初の引数 f には次のいずれも含めてはなりません。

• fourier、ifourier、laplace、ilaplace、htrans、ihtrans、ztrans、および iztrans などの積分変換

• limit または int を含む未評価のシンボリック式

• f(3) や g(0) など、特定の点で評価されるシンボリック関数

データ型: single | double | sym | symfun

var1,...,varN — 微分パラメーター

シンボリック スカラー変数 | シンボリック関数 | 導関数

微分パラメーター。関数 diff を使用して作成されたシンボリック スカラー変数、シンボリック関数、または導関数として指定します。

データ型: single | double | sym | symfun

mvar — 微分パラメーター

シンボリック行列変数

微分パラメーター。シンボリック行列変数として指定します。

微分パラメーターとしてシンボリック行列変数を使用する場合、f は微分可能なスカラー関数でなければなりません。ここで、mvar はスカラー、ベクトル、または行列を表すことができます。f の微分は、テンソルまたはテンソルに関する行列にできません。例については、ベクトルについての微分および行列についての微分を参照してください。

データ型: symmatrix

制限

• 微分パラメーターとしてシンボリック行列変数を使用する場合、関数 diff はテンソル微分をサポートしません。微分がテンソルである場合、または微分がテンソルに関する行列である場合、関数 diff はエラーになります。

ヒント

• 複数の変数を使用して高階数混合微分を計算する場合、微分の次数の指定に n は使用しません。代わりに、微分の変数をすべて明示的に指定します。

• パフォーマンスを向上させるため、diff ではすべての混合微分が可換であると仮定されます。たとえば、次のようになります。

  $$\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)$$

  工学および科学のほとんどの問題は、この仮定で十分とされます。

• 多変数式または多変数関数 f を微分の変数を指定せずに微分する場合、入れ子形式で呼び出す diff と diff(f,n) が返す結果が異なる場合があります。理由は、入れ子形式の呼び出しでは、微分ステップごとに独自の微分変数が決定され、使用されるためです。diff(f,n) のような呼び出しでは、微分の変数は symvar(f,1) によって微分の変数が決定されると、すべての微分ステップでも使用されます。

• abs または sign を含む式または関数を微分する場合、引数は実数でなければなりません。abs や sign の引数が複素数の場合、関数 diff は形式上微分を計算しますが、abs や sign は複素数について微分可能ではないため、一般的に結果は有効ではありません。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2022a: シンボリック行列関数の微分

関数 diff は symfunmatrix 型の入力引数を受け入れます。例については、シンボリック行列関数の微分を参照してください。

R2021a: diff でのシンボリック行列変数の使用

シンボリック行列変数の微分と、シンボリック行列変数についての微分ができるようになりました。例については、ベクトルについての微分および行列についての微分を参照してください。

参考

curl | divergence | functionalDerivative | gradient | hessian | int | jacobian | laplacian | symvar

トピック

• 微分
• 漸近線、臨界点および変曲点を求める

外部の Web サイト

• Calculus Derivatives (MathWorks Teaching Resources)
• Beam Bending and Deflection (MathWorks Teaching Resources)

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