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normlike

説明

nlogL = normlike(params,x) は、与えられた標本データ (x) に対して正規分布のパラメーター (params) の負の対数尤度を返します。params(1)params(2) はそれぞれ、正規分布の平均および標準偏差に対応します。

nlogL = normlike(params,x,censoring) は、x 内の各値を右側打ち切りするかどうかを指定します。右側打ち切りの観測値を 1、完全に観測される観測値を 0 で示す logical ベクトル censoring を使用します。

nlogL = normlike(params,x,censoring,freq) は、観測値の頻度または重みを指定します。censoring を指定せずに freq を指定するには、censoring について [] を渡します。

[nlogL,aVar] = normlike(___) は、前の構文におけるいずれかの入力引数の組み合わせを使用して、フィッシャー情報行列の逆行列 aVar も返します。params 内の値がパラメーターの最尤推定量 (MLE) である場合、aVar は漸近共分散行列に対する近似です。

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normfit を使用して打ち切りがあるデータセットの MLE を求めてから、normlike を使用して MLE の負の対数尤度を求めます。

標本データを読み込みます。

load lightbulb

データの 1 列目には、2 種類の電球の寿命 (時間単位) が含まれています。2 列目には、電球が蛍光灯と白熱灯のどちらであるかを示すバイナリ変数が含まれています。1 は電球が蛍光灯であることを、0 は白熱灯であることを示します。3 列目には打ち切り情報が含まれます。ここで、0 は電球が故障するまで観測されることを示し、1 はアイテム (電球) が打ち切られることを示します。

蛍光灯電球のインデックスを求めます。

idx = find(lightbulb(:,2) == 0);

正規分布のパラメーターの MLE を求めます。normfit の 2 番目の入力引数では、信頼度を指定します。[] を渡して、既定値 0.05 を使用します。3 番目の入力引数では、打ち切り情報を指定します。

censoring = lightbulb(idx,3) == 1;
[muHat,sigmaHat] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring)
muHat = 9.4966e+03
sigmaHat = 3.0640e+03

MLE の負の対数尤度を求めます。

nlogL = normlike([muHat,sigmaHat],lightbulb(idx,1),censoring)
nlogL = 376.2305

関数 normfit は、打ち切りを行わずに標本平均と分散の不偏推定量の平方根を求めます。標本平均は平均パラメーターの MLE に等しくなりますが、分散の不偏推定量の平方根は標準偏差パラメーターの MLE に等しくなりません。

normfit を使用して正規分布のパラメーターを求め、MLE に変換し、normlike を使用して推定値の負の対数尤度を比較します。

標準正規分布から 100 個の正規乱数を生成します。

rng('default') % For reproducibility
n = 100;
x = normrnd(0,1,[n,1]);

標本平均と分散の不偏推定量の平方根を求めます。

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)
muHat = 0.1231
sigmaHat = 1.1624

分散の不偏推定量の平方根を標準偏差パラメーターの MLE に変換します。

sigmaHat_MLE = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat
sigmaHat_MLE = 1.1566

n が大きい場合、sigmaHatsigmaHat_MLE の差は無視できます。

または、関数 mle を使用して MLE を求めることができます。

phat = mle(x)
phat = 1×2

    0.1231    1.1566

phat(1)phat(2) はそれぞれ、平均および標準偏差パラメーターの MLE です。

関数 normlike を使用して、MLE の対数尤度 (muHatsigmaHat_MLE) が不偏推定量の対数尤度 (muHatsigmaHat) より大きいことを確認します。

logL = -normlike([muHat,sigmaHat],x)
logL = -156.4424
logL_MLE = -normlike([muHat,sigmaHat_MLE],x)
logL_MLE = -156.4399

正規分布パラメーターの最尤推定量 (MLE) を求めてから、対応する cdf の逆関数の値について信頼区間を求めます。

平均 5 および標準偏差 2 をもつ正規分布から 1000 個の正規乱数を生成します。

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,[n,1]);

mleを使用して、分布パラメーター (平均と標準偏差) の MLE を求めます。

phat = mle(x)
phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

normlike を使用して、分布パラメーターの共分散を推定します。関数 normlike は、MLE がその MLE の推定に使用された標本と共に渡された場合、漸近共分散行列に対する近似を返します。

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)
pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

0.5 における cdf の逆関数の値およびその 99% 信頼区間を求めます。

[x,xLo,xUp] = norminv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)
x = 4.9347
xLo = 4.7721
xUp = 5.0974

x は、パラメーター muHat および sigmaHat をもつ正規分布を使用した cdf の逆関数の値です。区間 [xLo,xUp] は、0.5 で評価した cdf の逆関数の値の 99% 信頼区間であり、pCov を使用した場合の muHat および sigmaHat の不確実性を考慮しています。99% 信頼区間は、cdf の逆関数の真の値が [xLo,xUp] に含まれる確率が 0.99 であることを意味します。

入力引数

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平均と標準偏差から構成される正規分布のパラメーター。2 つの数値によるベクトルを指定します。params(1)params(2) はそれぞれ、正規分布の平均および標準偏差に対応します。params(2) は正でなければなりません。

例: [0,1]

データ型: single | double

ベクトルとして指定される標本データ。

データ型: single | double

x 内の各値の打ち切りのインジケーター。x と同じサイズの logical ベクトルを指定します。右側打ち切りの観測値については 1、完全に観測される観測値については 0 を使用します。

既定は、すべての観測値が完全に観測されることを示す 0 の配列です。

データ型: logical

観測値の頻度または重み。x と同じサイズの非負のベクトルを指定します。通常、入力引数 freq には x 内の対応する要素に対する非負の整数カウントを含めますが、任意の非負値を含めることができます。

打ち切りがあるデータセットに対する重み付きの負の対数尤度を取得するには、x 内の観測値の個数に対して正規化した観測値の重みを指定します。

既定は、x の各要素に対して観測値が 1 つずつあることを示す、1 の配列です。

データ型: single | double

出力引数

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与えられた標本データ (x) に対する分布パラメーター (params) の負の対数尤度値。数値スカラーとして返されます。

フィッシャー情報行列の逆行列。2 行 2 列の数値行列として返されます。aVar は、予期される情報ではなく、観測されたデータ (x) に対して観測されたフィッシャー情報に基づきます。

params 内の値がパラメーターの MLE である場合、aVar は漸近分散共分散行列 (漸近共分散行列とも呼ばれます) に対する近似です。MLE を求めるには、mle を使用します。

代替機能

normlike は正規分布専用の関数です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、さまざまな確率分布をサポートする汎用関数 mlecovfitdistnegloglik および proflikDistribution Fitter アプリもあります。

  • mlecov は、カスタムな確率密度関数によって指定された分布について、パラメーターの MLE の漸近共分散行列を返します。たとえば、mlecov(params,x,'pdf',@normpdf) は正規分布に対する MLE の漸近共分散行列を返します。

  • 関数 fitdist または Distribution Fitter アプリを使用して分布をデータにあてはめることにより、NormalDistribution 確率分布オブジェクトを作成します。オブジェクト プロパティ ParameterCovariance には、パラメーター推定の共分散行列が格納されます。パラメーター推定の負の対数尤度と尤度関数のプロファイルを取得するには、オブジェクトを negloglik および proflik にそれぞれ渡します。

参照

[1] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[2] Lawless, J. F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.

[3] Meeker, W. Q., and L. A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

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