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normcdf

正規累積分布関数

構文

p = normcdf(x)

p = normcdf(x,mu)

p = normcdf(x,mu,sigma)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)

___ = normcdf(___,'upper')

説明

p = normcdf(x) は、x の各値で評価した標準正規分布の累積分布関数 (cdf) を返します。

p = normcdf(x,mu) は、x の各値で評価した、平均 mu および単位標準偏差をもつ正規分布の cdf を返します。

p = normcdf(x,mu,sigma) は、x の各値で評価した、平均 mu および標準偏差 sigma をもつ正規分布の cdf を返します。

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov) は、mu と sigma が推定値である場合の p の 95% 信頼限界 [pLo,pUp] も返します。pCov は、推定されたパラメーターの共分散行列です。

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha) は、信頼区間 [pLo,pUp] の信頼度が 100(1–alpha)% であることを指定します。

___ = normcdf(___,'upper') は、極端な上裾の確率をより正確に計算するアルゴリズムを使用して、x 内の各値で評価した cdf の補数を返します。'upper' は、前の構文の任意の入力引数の後に続けることができます。

例

標準正規分布の累積分布関数

標準正規分布に従う観測値が区間 [–1 1] に含まれる確率を計算します。

p = normcdf([-1 1]);
p(2)-p(1)

ans = 0.6827

正規分布に従う観測値の約 68% は、平均 0 から 1 標準偏差以内に収まります。

正規分布の累積分布関数

平均 mu および標準偏差 sigma をもつ正規分布について、x の各値で評価した cdf の値を計算します。

x = [-2,-1,0,1,2];
mu = 2;
sigma = 1;
p = normcdf(x,mu,sigma)

p = 1×5

    0.0000    0.0013    0.0228    0.1587    0.5000

異なる平均パラメーターをもつさまざまな正規分布について、ゼロで評価した cdf の値を計算します。

mu = [-2,-1,0,1,2];
sigma = 1;
p = normcdf(0,mu,sigma)

p = 1×5

    0.9772    0.8413    0.5000    0.1587    0.0228

正規分布の cdf 値の信頼区間

正規分布パラメーターの最尤推定量 (MLE) を求めてから、対応する cdf 値の信頼区間を求めます。

平均 5 および標準偏差 2 をもつ正規分布から 1000 個の正規乱数を生成します。

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,n,1);

normfit を使用して、平均および標準偏差という分布パラメーターを推定します。

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)

muHat = 4.9347

sigmaHat = 1.9979

打ち切りはなく、muHat は標本平均、sigmaHat は分散の不偏推定量の平方根です。muHat は平均パラメーターの MLE と等しくなっていますが、sigmaHat は標準偏差パラメーターの MLE と等しくなっていません。sigmaHat を MLE に変換します。

sigmaHat = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat

sigmaHat = 1.9969

normlike を使用して、分布パラメーターの共分散を推定します。関数 normlike は、MLE がその MLE の推定に使用された標本と共に渡された場合、漸近共分散行列に対する近似を返します。

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

ゼロにおける cdf の値およびその 95% 信頼区間を求めます。

[p,pLo,pUp] = normcdf(0,muHat,sigmaHat,pCov)

p = 0.0067

pLo = 0.0047

pUp = 0.0095

p は、パラメーター muHat および sigmaHat をもつ正規分布を使用した cdf の値です。区間 [pLo,pUp] は、0 で評価した cdf の 95% 信頼区間であり、pCov を使用した場合の muHat および sigmaHat の不確実性を考慮しています。95% 信頼区間は、[pLo,pUp] が真の cdf 値を含む確率が 0.95 であることを意味します。

相補 cdf (裾の分布)

標準正規分布に従う観測値が区間 [10,Inf] に含まれる確率を特定します。

p1 = 1 - normcdf(10)

p1 = 0

normcdf(10) はほぼ 1 なので、p1 は 0 になります。極端な上裾の確率をより正確に normcdf に計算させるため、'upper' を指定します。

p2 = normcdf(10,'upper')

p2 = 7.6199e-24

右裾の p 値は、'upper' を使用して計算できます。

関数ハンドルの使用による正規分布の検定

確率分布関数 normcdf をカイ二乗適合度検定 (chi2gof) で関数ハンドルとして使用します。

入力ベクトル x に含まれている標本データが正規分布に由来しており、この正規分布ではパラメーター µ および σ がそれぞれ標本データの平均 (mean) および標準偏差 (std) に等しいという帰無仮説を検定します。

rng('default') % For reproducibility
x = normrnd(50,5,100,1);
h = chi2gof(x,'cdf',{@normcdf,mean(x),std(x)})

h = 0

h = 0 という結果は、5% という既定の有意水準で chi2gof が帰無仮説を棄却しなかったことを示しています。

入力引数

x — cdf を評価する値

スカラー値 | スカラー値の配列

cdf を評価する値。スカラー値またはスカラー値の配列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、x はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の正規分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、normcdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された正規分布の cdf の値です。

例: [-1,0,3,4]

データ型: single | double

mu — 平均

0 (既定値) | スカラー値 | スカラー値の配列

正規分布の平均。スカラー値、またはスカラー値の配列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、mu はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の正規分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、normcdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された正規分布の cdf の値です。

例: [0 1 2; 0 1 2]

データ型: single | double

sigma — 標準偏差

1 (既定値) | 非負のスカラー値 | 非負のスカラー値の配列

正規分布の標準偏差。非負のスカラー値、または非負のスカラー値の配列を指定します。

sigma がゼロである場合、出力 p は 0 または 1 のいずれかになります。p は、x が mu より小さい場合は 0、それ以外の場合は 1 になります。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、sigma はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の正規分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、normcdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された正規分布の cdf の値です。

例: [1 1 1; 2 2 2]

データ型: single | double

pCov — 推定値の共分散

2 行 2 列の数値行列

推定値 mu および sigma の共分散。2 行 2 列の行列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、x、mu および sigma はスカラー値でなければなりません。

mu と sigma は normfit を使用して推定でき、mu と sigma の共分散は normlike を使用して推定できます。例については、正規分布の cdf 値の信頼区間を参照してください。

データ型: single | double

alpha — 信頼度

0.05 (既定値) | 範囲 (0,1) のスカラー

信頼区間の信頼度。範囲 (0,1) のスカラーを指定します。信頼度は 100(1–alpha)% です。alpha は、真の値が信頼区間に含まれない確率です。

例: 0.01

データ型: single | double

出力引数

p — 累積分布関数値

スカラー値 | スカラー値の配列

x 内の値で評価した cdf の値。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。p は、必要なスカラー拡張後の x、mu および sigma と同じサイズになります。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された正規分布の cdf の値です。

pLo — p の信頼限界の下限

スカラー値 | スカラー値の配列

p の信頼限界の下限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。pLo は p と同じサイズになります。

pUp — p の信頼限界の上限

スカラー値 | スカラー値の配列

p の信頼限界の上限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。pUp は p と同じサイズになります。

詳細

正規分布

正規分布は、パラメーターを 2 つもつ曲線群です。1 つ目のパラメーター µ は平均です。2 番目のパラメーター σ は標準偏差です。

標準正規分布は、ゼロ平均と単位標準偏差をもちます。

正規 cdf は次のようになります。

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^x{e}^{\frac{-{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}}dt,\text{for}x\in ℝ.$$

p は、パラメーター µ および σ をもつ正規分布から派生した単一の観測値が区間 (-∞,x] に含まれる確率です。

アルゴリズム

• 関数 normcdf は逆相補誤差関数 erfc を使用します。normcdf と erfc の関係は次のようになります。

  $$\text{normcdf}(x)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$$

  相補誤差関数 erfc(x) は次のように定義されます。

  $$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt}.$$

• 関数 normcdf は、デルタ法を使用して p の信頼限界を計算します。normcdf(x,mu,sigma) は normcdf((x–mu)/sigma,0,1) と等価です。したがって、関数 normcdf はデルタ法により mu と sigma の共分散行列を使用して (x–mu)/sigma の分散を推定し、この分散の推定値を使用して (x–mu)/sigma の信頼限界を求めます。その後、信頼限界を p のスケールに変換します。大規模な標本から mu、sigma および pCov を推定する場合、計算された信頼限界は必要な信頼度を近似的に提供します。

代替機能

• normcdf は正規分布専用の関数です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、さまざまな確率分布をサポートする汎用関数 cdf もあります。cdf を使用するには、NormalDistribution 確率分布オブジェクトを作成し入力引数として渡すか、確率分布名とそのパラメーターを指定します。分布専用の関数 normcdf は汎用関数 cdf より高速です。

• 確率分布の累積分布関数 (cdf) または確率密度関数 (pdf) のプロットを対話的に作成するには、確率分布関数アプリを使用します。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は、GPU 配列を完全にサポートします。詳細は、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox) を参照してください。

参考

NormalDistribution | cdf | erfc | normfit | norminv | normlike | normpdf

トピック

• 正規分布

R2006a より前に導入