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svd

特異値分解

構文

s = svd(A)

[U,S,V] = svd(A)

[U,S,V] = svd(A,'econ')

[U,S,V] = svd(A,0)

説明

s = svd(A) は、行列 A の特異値を降順で返します。

[U,S,V] = svd(A) は、A = U*S*V' となるように、行列 A の特異値分解を実行します。

[U,S,V] = svd(A,'econ') は、m 行 n 列の行列 A について、エコノミーサイズの分解を出力します。

• m > n — U の最初の n 列のみが計算され、S は n 行 n 列になります。

• m = n — svd(A,'econ') は svd(A) と等価です。

• m < n — V の最初の m 列のみが計算され、S は m 行 m 列になります。

エコノミーサイズの分解により、特異値の対角行列 S にある余分なゼロの行または列が、式 A = U*S*V' でこれらのゼロに乗算される U または V の列とともに削除されます。これらのゼロと列を削除すると、分解の精度を損なわずに、実行時間を改善してストレージ要件を低減することができます。

[U,S,V] = svd(A,0) は、m 行 n 列の行列 A について、異なるエコノミーサイズの分解を出力します。

• m > n — svd(A,0) は svd(A,'econ') と等価です。

• m <= n — svd(A,0) は svd(A) と等価です。

例

行列の特異値

フル ランク行列の特異値を計算します。

A = [1 0 1; -1 -2 0; 0 1 -1]

A = 3×3

     1     0     1
    -1    -2     0
     0     1    -1

s = svd(A)

s = 3×1

    2.4605
    1.6996
    0.2391

特異値分解

方形行列 A の特異値分解を求めます。

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

A = 4×2

     1     2
     3     4
     5     6
     7     8

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

マシンの精度内で A = U*S*V' が成り立つことを確認します。

U*S*V'

ans = 4×2

    1.0000    2.0000
    3.0000    4.0000
    5.0000    6.0000
    7.0000    8.0000

エコノミーサイズの分解

方形行列の完全な分解とエコノミーサイズの分解を計算します。

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

A = 4×2

     1     2
     3     4
     5     6
     7     8

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

[U,S,V] = svd(A,'econ')

U = 4×2

   -0.1525   -0.8226
   -0.3499   -0.4214
   -0.5474   -0.0201
   -0.7448    0.3812

S = 2×2

   14.2691         0
         0    0.6268

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

A は 4 行 2 列なので、svd(A,'econ') は完全な分解と比較して少ない列を U に、少ない行を S にそれぞれ返します。S の余分なゼロの行が、式 A = U*S*V' でこれらのゼロに乗算される U の対応列とともに削除されます。

行列のランク、列空間およびヌル空間

特異値分解の結果を使用して、行列のランク、列空間およびヌル空間を求めます。

A = [2 0 2; 0 1 0; 0 0 0]

A = 3×3

     2     0     2
     0     1     0
     0     0     0

[U,S,V] = svd(A)

U = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

S = 3×3

    2.8284         0         0
         0    1.0000         0
         0         0         0

V = 3×3

    0.7071         0   -0.7071
         0    1.0000         0
    0.7071         0    0.7071

非ゼロの特異値の数を使用してランクを計算します。

s = diag(S);
rank_A = nnz(s)

rank_A = 2

非ゼロの特異値に対応する U の列を使用して、A の列空間の正規直交基底を計算します。

column_basis = U(:,logical(s))

column_basis = 3×2

     1     0
     0     1
     0     0

ゼロに等しい特異値に対応する V の列を使用して、A のヌル空間の正規直交基底を計算します。

null_basis = V(:,~s)

null_basis = 3×1

   -0.7071
         0
    0.7071

関数 rank、関数 orth および関数 null は、これらの量を計算するための便利な方法です。

入力引数

A — 入力行列

行列

入力行列。A は、正方形または長方形のサイズにすることができます。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

出力引数

s — 特異値

列ベクトル

特異値。列ベクトルとして返されます。特異値は、非負の実数値であり、降順でリストされます。

U — 左特異ベクトル

行列

左特異ベクトル。行列の列として返されます。

• m 行 n 列の行列 A で m > n の場合、エコノミーサイズの分解 svd(A,'econ') および svd(A,0) は、U の最初の n 列のみを計算します。この場合、U の列は直交であり、U は $$U^{H}U=I_n$$ を満たす m 行 n 列の行列です。

• 完全な分解の場合、svd(A) は U を $$U{U}^H=U^{H}U=I_m$$ を満たす m 行 m 列のユニタリ行列として返します。非ゼロの特異値に対応する U の列は、A の値域に対応する一連の正規直交基底ベクトルを構成します。

マシンや MATLAB^® のリリースが異なると、異なった特異ベクトルが生成されることがありますが、数値的にはいずれも正確です。U と V の対応する列で符号が反転する場合がありますが、これは、反転しても式 A = U*S*V' の値には影響がないためです。

S — 特異値

対角行列

特異値。対角行列として返されます。S の対角要素は、降順に並べられた非負の特異値です。S のサイズは次のとおりです。

• m 行 n 列の行列 A の場合、エコノミーサイズの分解 svd(A,'econ') は、次数 min([m,n]) の正方行列 S を返します。

• 完全な分解の場合、svd(A) は A と同じサイズの S を返します。

• m > n の場合、svd(A,0) は次数 min([m,n]) の正方行列 S を返します。

• m < n の場合、svd(A,0) は A と同じサイズの S を返します。

V — 右特異ベクトル

行列

右特異ベクトル。行列の列として返されます。

• m 行 n 列の行列 A で m < n の場合、エコノミー分解 svd(A,'econ') は、V の最初の m 列のみを計算します。この場合、V の列は直交であり、V は $$V^{H}V=I_m$$ を満たす n 行 m 列の行列です。

• 完全な分解の場合、svd(A) は V を $$V{V}^H=V^{H}V=I_n$$ を満たす n 行 n 列のユニタリ行列として返します。非ゼロの特異値に "対応しない" V の列は、A のヌル空間の一連の正規直交基底ベクトルを構成します。

マシンや MATLAB のリリースが異なると、異なった特異ベクトルが生成されることがありますが、数値的にはいずれも正確です。U と V の対応する列で符号が反転する場合がありますが、これは、反転しても式 A = U*S*V' の値には影響がないためです。

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 3 つの出力の構文 [U,S,V] = svd(X) はサポートされていません。出力が 3 つの場合、svd(X,'econ') または svd(X,0) を指定しなければなりません。

詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• コード生成では、MATLAB が使用するものとは異なる SVD 実装が使用されます。特異値分解が一意でないため、左および右特異ベクトルが MATLAB によって計算されたものと異なる場合があります。

• 入力行列に非有限値が含まれる場合、生成されたコードはエラーを発行しません。代わりに、出力には NaN 値が含まれます。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• コード生成では、MATLAB が使用するものとは異なる SVD 実装が使用されます。特異値分解が一意でないため、左および右特異ベクトルが MATLAB によって計算されたものと異なる場合があります。

• 入力行列に非有限値が含まれる場合、生成されたコードはエラーを発行しません。代わりに、出力には NaN 値が含まれます。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は GPU 配列を完全にサポートしています。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

参考

gsvd | svds | svdsketch | rank | orth | null

トピック

• 特異値プロット

R2006a より前に導入

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