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特異値プロット

方形行列 A の "特異値" と対応する "特異ベクトル" は、スカラー σ と u と v の 1 組のベクトルで表され、次の式を満たします。

Av=σuAHu=σv,

ここで、AH は A のエルミート転置です。通常、特異ベクトル u と v はノルムが 1 になるようにスケーリングされます。また、u と v が A の特異ベクトルである場合は、-u と -v も A の特異ベクトルです。

特異値 σ は、A が複素数であっても、常に非負の実数です。対角行列 Σ に特異値を配置します。これに対応する特異ベクトルは 2 つの直交行列 U と V の列からなり、次のような方程式が導出されます。

AV=UΣAHU=VΣ.

U と V はユニタリ行列であるため、最初の方程式に右側から VH を乗算すると、特異値分解の方程式が導出されます。

A=UΣVH.

m 行 n 列の行列の非スパースな特異値分解は、次で表されます。

  • m 行 m 列の行列 U

  • m 行 n 列の行列 Σ

  • n 行 n 列の行列 V

言い換えれば U と V は共に正方で、Σ は A と同じサイズです。A の行数が列数よりずっと多い場合 (m > n)、結果の mm 列の行列 U は大きくなります。ただし、U のほとんどの列は Σ のゼロで乗算されます。このような場合 "エコノミー サイズ" で分解すると、m 行 n 列の U、n 行 n 列の Σ、同じ V が作成され、計算時間もメモリ サイズも節約されます。

In the economy-sized decomposition, columns in U can be ignored if they multiply zeros in the diagonal matrix of singular values.

常微分方程式を表現する場合ように、あるベクトル空間内でマッピングを行う場合、固有値分解はその行列の解析に適切な方法になります。ただし、あるベクトル空間から他のベクトル空間へマッピングする行列を解析する場合は特異値分解が適切な方法になります。特異値分解は異なる次元についても扱えます。ほとんどの連立線形方程式は、この 2 番目の方法のカテゴリに入ります。

A が正方、対称、かつ正定値の場合は、この固有値分解と特異値分解は等しくなります。ただし A が対称および正定値でない場合、2 つの分解の結果のズレは大きくなります。特に実数行列の特異値分解は常に実数ですが、実数の非対称行列の固有値分解は複素数になることもあります。

例として行列を作成します。

A =
     9     4
     6     8
     2     7

A に対して非スパースな特異値分解は次のようになります。

[U,S,V] = svd(A)

U =

    0.6105   -0.7174    0.3355
    0.6646    0.2336   -0.7098
    0.4308    0.6563    0.6194


S =

   14.9359         0
         0    5.1883
         0         0


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

U*S*V' が丸め誤差の範囲内で A に等しいことが確かめられます。このような小さな行列の問題をエコノミー サイズで分解すると、わずかですが使用メモリ サイズを小さくできます。

[U,S,V] = svd(A,0)

U =

    0.6105   -0.7174
    0.6646    0.2336
    0.4308    0.6563


S =

   14.9359         0
         0    5.1883


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

U*S*V' が丸め誤差の範囲内で A に等しいことを再確認できます。

SVD による低ランク近似

大規模なスパース行列では、svd を使用して "すべて" の特異値と特異ベクトルを計算することは、必ずしも現実的ではありません。たとえば、最も大きい特異値をいくつかだけ知る必要がある場合に、5000 行 5000 列のスパース行列の特異値をすべて計算するのは余分な作業となります。

特異値と特異ベクトルのサブセットのみが必要な場合は、関数 svd よりも、関数 svds と関数 svdsketch が推奨されます。

関数使用方法
svdssvds を使用して、SVD によるランク k の近似を計算します。特異値のサブセットを最大にするか、最小にするか、特定の数に最も近くするかを指定できます。svds は一般的に、ランク k の最適な近似を計算します。
svdsketchsvdsketch を使用して、指定された許容誤差を満たす、入力行列の部分的な SVD を計算します。svds ではランクを指定する必要がありますが、svdsketch では指定された許容誤差に基づき、行列スケッチのランクが適応的に特定されます。svdsketch が最終的に使用するランク k の近似は許容誤差を満たしますが、svds と異なり、最適なものであることは保証されません。

たとえば、密度が約 30% である、1000 行 1000 列のランダムなスパース行列について考えてみます。

n = 1000;
A = sprand(n,n,0.3);

6 つの最大特異値は次のようになります。

S = svds(A)

S =

  130.2184
   16.4358
   16.4119
   16.3688
   16.3242
   16.2838

また、6 つの最小特異値は次のようになります。

S = svds(A,6,'smallest')

S =

    0.0740
    0.0574
    0.0388
    0.0282
    0.0131
    0.0066

行列が比較的小さく、非スパース行列 full(A) としてメモリに収まる場合は、svdssvdsketch よりも svd(full(A)) を使用するほうが依然として高速になることがあります。ただし、非常に大規模なスパース行列の場合は、svdssvdsketch の使用が必要になります。

参考

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