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orth

行列の範囲の正規直交基底

構文

Q = orth(A)

説明

Q = orth(A) は、A の範囲の正規直交基底を返します。Q の列はベクトルであり、A の範囲に広がります。Q の列数は A のランクと等しくなります。

例

フル ランク行列の基底

フル ランク行列の範囲の正規直交基底ベクトルを計算して検証します。

行列を定義し、ランクを求めます。

A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1];
r = rank(A)

r = 3

A はフル ランクの正方行列であるため、orth(A) によって計算される正規直交基底は特異値分解 [U,S] = svd(A,'econ') で計算される行列 U と一致します。これは、A の特異値がすべて非ゼロであるためです。

orth を使用して A の範囲の正規直交基底を計算します。

Q = orth(A)

Q = 3×3

   -0.1200   -0.8097    0.5744
    0.9018    0.1531    0.4042
   -0.4153    0.5665    0.7118

Q の列数は rank(A) と等しくなります。A はフル ランクであるため、Q と A のサイズは同じです。

基底 Q が直交し、妥当な誤差範囲内に正規化されていることを検証します。

E = norm(eye(r)-Q'*Q,'fro')

E = 9.2306e-16

誤差は eps と同程度です。

ランク落ち行列の基底

ランク落ち行列の範囲の正規直交基底ベクトルを計算して検証します。

特異行列を定義し、ランクを求めます。

A = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];
r = rank(A)

r = 2

A はランク落ちであるため、orth(A) によって計算される正規直交基底は特異値分解 [U,S] = svd(A,'econ') で計算される行列 U の最初の r = 2 列のみと一致します。A の特異値がすべて非ゼロ "でない" のはこのためです。

orth を使用して A の範囲の正規直交基底を計算します。

Q = orth(A)

Q = 3×2

   -0.7071   -0.0000
         0    1.0000
   -0.7071    0.0000

A はランク落ちであるため、Q に含まれる列は A より 1 つ少なくなります。

入力引数

A — 入力行列

行列

入力行列。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

詳細

範囲

行列 A の列空間または "範囲" は、A の列のすべての線形結合の集合です。線形方程式 A*x = b の解となるベクトル b は、A の列の線形結合として記述することもできるため、必ず A の範囲に含まれます。

ランク

行列の rank は範囲の次元と等しくなります。

アルゴリズム

orth は、特異値分解 [U,S] = svd(A,'econ') の U から求められます。r = rank(A) の場合、U の最初の r 列は A の範囲の正規直交基底を構成します。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 生成されたコードは MATLAB^® と異なる基底を返す場合があります。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は GPU 配列を完全にサポートしています。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

参考

null | svd | rank

R2006a より前に導入

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