damp

固有振動数と減衰比

構文

damp(sys)

[wn,zeta] = damp(sys)

[wn,zeta,p] = damp(sys)

説明

damp(sys) は、線形モデル sys の極の減衰比、固有振動数および時定数を表示します。離散時間モデルでは、テーブルには各極の振幅も含まれます。極は周波数値の昇順で並べ替えられます。

[wn,zeta] = damp(sys) は、固有振動数 wn および sys の極の減衰比 zeta を返します。

[wn,zeta,p] = damp(sys) は sys の極 p も返します。

例

連続時間システムの固有振動数、減衰比および極の表示

この例では、次の連続時間伝達関数モデルについて考えます。

$$sys(s)=\frac{2s^2+5s+1}{s^3+2s-3}.$$

連続時間伝達関数を作成します。

sys = tf([2,5,1],[1,0,2,-3]);

sys の固有振動数、減衰比、時定数および極を表示します。

damp(sys)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
  1.00e+00                -1.00e+00       1.00e+00        -1.00e+00    
 -5.00e-01 + 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    

sys の極には、s 平面の左半分にある不安定な極と複素共役の組が含まれます。不安定な極に対応する減衰比は -1 です。これは、システムの発振を増やして、システムを不安定にさせるため、減衰力ではなく駆動力と呼ばれます。

離散時間システムの固有振動数、減衰比および極の表示

この例では、サンプル時間が 0.01 秒の次の離散時間伝達関数を考えてみます。

$$sys(z)=\frac{5z^2+3z+1}{z^3+6z^2+4z+4}$$.

離散時間伝達関数を作成します。

sys = tf([5 3 1],[1 6 4 4],0.01)

sys =
 
     5 z^2 + 3 z + 1
  ---------------------
  z^3 + 6 z^2 + 4 z + 4
 
Sample time: 0.01 seconds
Discrete-time transfer function.

damp コマンドを使用して sys の極に関する情報を表示します。

damp(sys)

                                                                                    
         Pole             Magnitude     Damping       Frequency      Time Constant  
                                                    (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                                    
 -3.02e-01 + 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -3.02e-01 - 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -5.40e+00                 5.40e+00    -4.73e-01       3.57e+02        -5.93e-03    

Magnitude 列は離散時間の極の振幅を表示します。Damping、Frequency、および Time Constant の各列は、等価な連続時間の極を使用して計算された値を表示します。

零点-極-ゲイン モデルの固有振動数と減衰比

この例では、2 つの出力と 1 つの入力を使用して離散時間零点-極-ゲイン モデルを作成します。0.1 秒のサンプル時間を使用します。

sys = zpk({0;-0.5},{0.3;[0.1+1i,0.1-1i]},[1;2],0.1)

sys =
 
  From input to output...
          z
   1:  -------
       (z-0.3)
 
            2 (z+0.5)
   2:  -------------------
       (z^2 - 0.2z + 1.01)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

零点-極-ゲイン モデル sys の固有振動数と減衰比を計算します。

[wn,zeta] = damp(sys)

wn = 3×1

   12.0397
   14.7114
   14.7114

zeta = 3×1

    1.0000
   -0.0034
   -0.0034

wn と zeta の各エントリは、sys における I/O の組み合わされた数を表します。zeta は wn の固有振動数値の昇順で並べ替えられます。

状態空間モデルの固有振動数、減衰比および極の計算

この例では、次の状態空間モデルの固有振動数、減衰比、および極を計算します。

$$A=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right],D=[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}].$$

状態空間行列を使用して状態空間モデルを作成します。

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
sys = ss(A,B,C,D);

sys の固有振動数、減衰比および極を計算するには、damp を使用します。

[wn,zeta,p] = damp(sys)

wn = 2×1

    2.2361
    2.2361

zeta = 2×1

    0.8944
    0.8944

p = 2×1 complex

  -2.0000 + 1.0000i
  -2.0000 - 1.0000i

sys の極は、s 平面の左半分にある複素共役です。対応する減衰比は 1 未満です。したがって、sys は不足減衰システムです。

入力引数

sys — 線形動的システム

動的システム モデル

線形動的システム。SISO または MIMO 動的システム モデルとして指定します。使用できる動的システムには次のようなものがあります。

• tf、zpk、ss モデルなどの連続時間または離散時間の数値 LTI モデル。

• genss や uss (Robust Control Toolbox) モデルなどの一般化された、あるいは不確かさをもつ LTI モデル。(不確かさをもつモデルを使用するには Robust Control Toolbox™ ソフトウェアが必要です。)

  damp は次を仮定します。

  • 調整可能な制御設計ブロックについては調整可能なコンポーネントの現在値。

  • 不確かさをもつ制御設計ブロックについてはモデルのノミナル値。

出力引数

wn — 各極の固有振動数

ベクトル

sys の各極の固有振動数。周波数値の昇順で並べ替えられたベクトルとして返されます。周波数は sys の TimeUnit プロパティの逆数の単位で表されます。

sys が指定のサンプル時間をもつ離散時間モデルである場合、wn は等価な連続時間極の固有振動数を含みます。サンプル時間が指定されていない場合、damp はサンプル時間値を 1 と仮定して、wn を計算します。詳細については、アルゴリズムを参照してください。

zeta — 各極の減衰比

ベクトル

各極の減衰比。wn と同じ順序で並べ替えられたベクトルとして返されます。

sys が指定のサンプル時間をもつ離散時間モデルである場合、zeta は等価な連続時間極の減衰比を含みます。サンプル時間が指定されていない場合、damp はサンプル時間値を 1 と仮定して、zeta を計算します。詳細については、アルゴリズムを参照してください。

p — 動的システム モデルの極

ベクトル

動的システム モデルの極。wn と同じ順序で並べ替えられたベクトルとして返されます。p は、順序を除いて、pole(sys) の出力と同じです。極の詳細については、pole を参照してください。

アルゴリズム

damp では、システムの極の固有振動数、時定数および減衰比を以下の表に定義されているように計算します。

	連続時間	サンプル時間 Ts の離散時間
極配置	$$s$$	$$z$$
同等の連続時間の極	$$\text{Not applicable}$$	$$s=\frac{ln(z)}{T_s}$$
固有振動数	$${\omega }_n=\left|s\right|$$	$${\omega }_n=\left|s\right|=\left|\frac{ln(z)}{T_s}\right|$$
減衰比	$$\zeta =-cos(\angle s)$$	$$\begin{array}{lll}\zeta \hfill & =-cos(\angle s)\hfill & =-cos(\angle ln(z))\hfill \end{array}$$
時定数	$$\tau =\frac{1}{{\omega }_n\zeta }$$	$$\tau =\frac{1}{{\omega }_n\zeta }$$

サンプル時間が指定されていない場合、damp はサンプル時間値を 1 と仮定して、zeta を計算します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2023b: 出力動作の変更

システムでゼロまたは無限大に極がある場合の関数 damp の出力動作が変更されました。

関数は以下の値を返すようになりました。

• 連続時間

  極配置	固有振動数	減衰比
  0	0	–1
  Inf	Inf	–1

• 離散時間

  極配置	固有振動数	減衰比
  0	Inf	+1
  1	0	–1
  Inf	Inf	–1

数値的には、安定した無限大の極と不安定な無限大の極に差はありません。したがって、関数はすべての無限大の極を不安定とみなします。

以前は、こうした場合に関数は NaN を返していました。

参考

eig | esort | dsort | pole | pzmap | zero