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pdist2

観測値の 2 つの集合間のペアワイズ距離

構文

D = pdist2(X,Y,Distance)
D = pdist2(X,Y,Distance,DistParameter)
D = pdist2(___,Name,Value)
[D,I] = pdist2(___,Name,Value)

説明

D = pdist2(X,Y,Distance) は、Distance によって指定される尺度を使用して、X および Y に含まれている観測値の各ペアの間の距離を返します。

D = pdist2(X,Y,Distance,DistParameter) は、Distance および DistParameter で指定された尺度を使用して距離を返します。DistParameter を指定できるのは、Distance'seuclidean''minkowski' または 'mahalanobis' である場合だけです。

D = pdist2(___,Name,Value) は、前の構文の入力引数のいずれかと、名前と値のペアの引数 'Smallest' または 'Largest' を使用して、追加オプションを指定します。

例えば、

  • D = pdist2(X,Y,Distance,'Smallest',K) は、Distance によって指定された尺度を使用して距離を計算し、Y 内の各観測値について X 内の観測値に対するペアワイズ距離を最小のものから K 個、昇順で返します。

  • D = pdist2(X,Y,Distance,DistParameter,'Largest',K) は、Distance および DistParameter によって指定された尺度を使用して距離を計算し、ペアワイズ距離を最大のものから K 個、降順で返します。

[D,I] = pdist2(___,Name,Value) は、前の構文の入力引数のいずれかを使用して行列 I も返します。行列 I には、D 内の距離に対応する X 内の観測値のインデックスが格納されます。

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3 つの観測値と 2 つの変数を使用して 2 つの行列を作成します。

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);
Y = rand(3,2);

ユークリッド距離を計算します。入力引数 Distance の既定値は 'euclidean' です。名前と値のペアの引数を使用せずにユークリッド距離を計算する場合、Distance を指定する必要はありません。

D = pdist2(X,Y)
D = 3×3

    0.5387    0.8018    0.1538
    0.7100    0.5951    0.3422
    0.8805    0.4242    1.2050

D(i,j) は、X 内の観測値 iY 内の観測値 j の間のペアワイズ距離に対応します。

3 つの観測値と 2 つの変数を使用して 2 つの行列を作成します。

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);
Y = rand(3,2);

既定の指数 2 を使用してミンコフスキー距離を計算します。

D1 = pdist2(X,Y,'minkowski')
D1 = 3×3

    0.5387    0.8018    0.1538
    0.7100    0.5951    0.3422
    0.8805    0.4242    1.2050

指数を 1 にしてミンコフスキー距離を計算します。これは市街地距離に等しくなります。

D2 = pdist2(X,Y,'minkowski',1)
D2 = 3×3

    0.5877    1.0236    0.2000
    0.9598    0.8337    0.3899
    1.0189    0.4800    1.7036

D3 = pdist2(X,Y,'cityblock')
D3 = 3×3

    0.5877    1.0236    0.2000
    0.9598    0.8337    0.3899
    1.0189    0.4800    1.7036

3 つの観測値と 2 つの変数を使用して 2 つの行列を作成します。

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);
Y = rand(3,2);

Y 内の各観測値について X 内の観測値に対するペアワイズのユークリッド距離を最小のものから 2 つ求めます。

[D,I] = pdist2(X,Y,'euclidean','Smallest',2)
D = 2×3

    0.5387    0.4242    0.1538
    0.7100    0.5951    0.3422

I = 2×3

     1     3     1
     2     2     2

pdist2 は、Y 内の各観測値について X 内の観測値すべてに対する距離値を計算して比較することにより、最小の 2 つの距離を求めます。そして、D の各列に格納されている距離を昇順で並べ替えます。I には、D 内の距離に対応する X 内の観測値のインデックスが格納されます。

NaN 値がある座標を無視するカスタム距離関数を定義し、この関数を使用してペアワイズ距離を計算します。

3 つの観測値と 3 つの変数を使用して 2 つの行列を作成します。

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,3)
Y = [X(:,1:2) rand(3,1)]
X =

    0.8147    0.9134    0.2785
    0.9058    0.6324    0.5469
    0.1270    0.0975    0.9575


Y =

    0.8147    0.9134    0.9649
    0.9058    0.6324    0.1576
    0.1270    0.0975    0.9706

X と Y の初めの 2 列は同じです。X(1,1) が欠損していると仮定します。

X(1,1) = NaN
X =

       NaN    0.9134    0.2785
    0.9058    0.6324    0.5469
    0.1270    0.0975    0.9575

ハミング距離を計算します。

D1 = pdist2(X,Y,'hamming')
D1 =

       NaN       NaN       NaN
    1.0000    0.3333    1.0000
    1.0000    1.0000    0.3333

X 内の観測値 i または Y 内の観測値 jNaN 値が含まれている場合、関数 pdist2ij の間のペアワイズ距離として NaN を返します。したがって、D1(1,1)、D1(1,2) および D1(1,3) は NaN 値になります。

NaN 値がある座標を無視してハミング距離を計算するカスタム距離関数 nanhamdist を定義します。大量の観測値を処理する場合、データの座標に対してループ処理を行うことにより距離の計算を高速化できます。

function D2 = nanhamdist(XI,XJ)  
%NANHAMDIST Hamming distance ignoring coordinates with NaNs
[m,p] = size(XJ);
nesum = zeros(m,1);
pstar = zeros(m,1);
for q = 1:p
    notnan = ~(isnan(XI(q)) | isnan(XJ(:,q)));
    nesum = nesum + ((XI(q) ~= XJ(:,q)) & notnan);
    pstar = pstar + notnan;
end
D2 = nesum./pstar; 

pdist2 の入力引数として関数ハンドルを渡すことにより、nanhamdist で距離を計算します。

D2 = pdist2(X,Y,@nanhamdist)
D2 =

    0.5000    1.0000    1.0000
    1.0000    0.3333    1.0000
    1.0000    1.0000    0.3333

入力引数

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入力データ。数値行列を指定します。X は mx 行 n 列の行列、Y は my 行 n 列の行列です。行は各観測値に、列は各変数に対応します。

データ型: single | double

距離計量。次の表に記載されているように文字ベクトル、string スカラーまたは関数ハンドルを指定します。

説明
'euclidean'

ユークリッド距離 (既定の設定)。

'squaredeuclidean'

2 乗ユークリッド距離(効率向上のみを目的に提供されているオプション。三角不等式は満たさない)。

'seuclidean'

標準化されたユークリッド距離。観測値間の各座標差は、標準偏差 S = nanstd(X) の対応する要素で除算することによりスケーリングされます。S について別の値を指定するには、DistParameter を使用します。

'mahalanobis'

X の標本共分散を使用したマハラノビス距離、C = nancov(X)C について別の値を指定するには、DistParameter を使用します。ここで、行列 C は対称かつ正定です。

'cityblock'

市街地距離。

'minkowski'

ミンコフスキー距離。指数の既定値は 2 です。異なる指数 P を指定するには、DistParameter を使用します。P は指数を表す正のスカラー値です。

'chebychev'

チェビシェフ距離 (最大座標差)。

'cosine'

1 から、ベクトルとして扱われる点の間の夾角の余弦を引いた値。

'correlation'

1 から、値の系列として扱われる点の間の標本相関を引いた値。

'hamming'

異なる座標の比率を示すハミング距離。

'jaccard'

1 から、ジャカード係数 (異なる非ゼロ座標の比率) を引いた値。

'spearman'

1 から、観測値間の標本スピアマンの順位相関 (値の系列として扱われる) を引いた値。

@distfun

カスタム距離関数のハンドル。距離関数の形式は次のようになります。

function D2 = distfun(ZI,ZJ)
% calculation of distance
...
ここで、

  • ZI は、単一の観測値が含まれている 1n 列のベクトルです。

  • ZJ は、複数の観測値が含まれている m2n 列の行列です。distfun は、任意の個数の観測値が含まれている行列 ZJ を受け入れなければなりません。

  • D2m21 列の距離のベクトルであり、D2(k) は観測値 ZIZJ(k,:) の間の距離です。

データがスパースでない場合、通常は関数ハンドルではなく組み込みの距離を使用する方が高速に距離を計算できます。

定義については距離計量を参照してください。

'seuclidean''minkowski' または 'mahalanobis' を使用する場合、これらの尺度を制御する追加入力引数 DistParameter を指定できます。DistParameter を既定値にすると、これらの尺度を他の尺度と同じ方法で使用できます。

例: 'minkowski'

距離計量のパラメーター値。正のスカラー、数値ベクトルまたは数値行列を指定します。この引数は、Distance として 'seuclidean''minkowski' または 'mahalanobis' を指定した場合のみ有効です。

  • Distance'seuclidean' の場合、DistParameter は各次元のスケーリング係数のベクトルで、正のベクトルを指定します。既定値は nanstd(X) です。

  • Distance'minkowski' の場合、DistParameter はミンコフスキー距離の指数で、正のスカラーを指定します。既定値は 2 です。

  • Distance'mahalanobis' の場合、DistParameter は共分散行列で、数値行列を指定します。既定値は nancov(X) です。DistParameter は、対称正定行列でなければなりません。

例: 'minkowski',3

データ型: single | double

名前と値のペアの引数

オプションの引数 Name,Value のコンマ区切りペアを指定します。Name は引数名で、Value は対応する値です。Name は引用符で閉じなければなりません。Name1,Value1,...,NameN,ValueN のように、複数の名前と値のペアの引数を任意の順序で指定できます。

例: 'Smallest',K または 'Largest',K'Smallest''Largest' を同時に使用することはできません。

求める最小距離の個数。'Smallest' と正の整数から構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。'Smallest' を指定した場合、pdist2D の各列の距離を昇順で並べ替えます。

例: 'Smallest',3

データ型: single | double

求める最大距離の個数。'Largest' と正の整数から構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。'Largest' を指定した場合、pdist2D の各列の距離を降順で並べ替えます。

例: 'Largest',3

データ型: single | double

出力引数

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ペアワイズ距離。数値行列として返されます。

'Smallest''Largest' も指定しなかった場合、D は mx 行 my 列の行列になります。mx と my はそれぞれ X および Y 内の観測値の個数です。D(i,j) は、X 内の観測値 iY 内の観測値 j の間の距離です。X 内の観測値 i または Y 内の観測値 j に NaN が含まれている場合、組み込み距離関数では D(i,j)NaN になります。

'Smallest' または 'Largest' として K を指定した場合、DK 行 my 列の行列になります。D には、Y 内の各観測値について X 内の観測値に対する K 個の最小のペアワイズ距離または K 個の最大のペアワイズ距離が格納されます。Y の各観測値に対し、pdist2X 内の観測値すべてに対する距離値を計算して比較することで、最小または最大の距離 K を求めます。K が mx より大きい場合、pdist2 は mx 行 my 列の行列を返します。

並べ換えのインデックス。正の整数の行列として返されます。ID と同じサイズです。I には、D 内の距離に対応する X 内の観測値のインデックスが格納されます。

詳細

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距離計量

距離計量は、2 つの観測値の間の距離を定義する関数です。pdist2 は、以下の各種距離計量、ユークリッド距離、標準化されたユークリッド距離、マハラノビス距離、市街地距離、ミンコフスキー距離、チェビシェフ距離、コサイン距離、相関距離、ハミング距離、Jaccard 距離およびスピアマン距離をサポートします。

mx 行 n 列のデータ行列 X (mx 個の 1 行 n 列の行ベクトル x1、x2、...、xmx として扱われる) と、my 行 n 列のデータ行列 Y (my 個の 1 行 n 列の行ベクトル y1、y2、...、ymy として扱われる) が与えられた場合、ベクトル xs と yt の間のさまざまな距離は次のように定義されます。

  • ユークリッド距離

    dst2=(xsyt)(xsyt).

    ユークリッド距離はミンコフスキー距離の特殊なケース、p = 2 の場合です。

  • 標準化されたユークリッド距離

    dst2=(xsyt)V1(xsyt),

    ここで、V は j 番目の対角要素が (S(j))2 である n 行 n 列の対角行列です。S は各次元のスケーリング係数のベクトルです。

  • マハラノビス距離

    dst2=(xsyt)C1(xsyt),

    ここで、C は共分散行列です。

  • 市街地距離

    dst=j=1n|xsjytj|.

    市街地距離はミンコフスキー距離の特殊なケース、p = 1 の場合です。

  • ミンコフスキー距離

    dst=j=1n|xsjytj|pp.

    p = 1 という特殊なケースでは、ミンコフスキー距離は市街地距離を与えます。p = 2 という特殊なケースでは、ミンコフスキー距離はユークリッド距離を与えます。p = ∞ という特殊なケースでは、ミンコフスキー距離はチェビシェフ距離を与えます。

  • チェビシェフ距離

    dst=maxj{|xsjytj|}.

    チェビシェフ距離はミンコフスキー距離の特殊なケース、p = ∞ の場合です。

  • コサイン距離

    dst=(1xsyt(xsxs)(ytyt)).

  • 相関距離

    dst=1(xsx¯s)(yty¯t)(xsx¯s)(xsx¯s)(yty¯t)(yty¯t),

    ここで、

    x¯s=1njxsj

    および

    y¯t=1njytj.

  • ハミング距離

    dst=(#(xsjytj)/n).

  • Jaccard 距離

    dst=#[(xsjytj)((xsj0)(ytj0))]#[(xsj0)(ytj0)].

  • スピアマン距離

    dst=1(rsr¯s)(rtr¯t)(rsr¯s)(rsr¯s)(rtr¯t)(rtr¯t),

    ここで、

    • rsj は、tiedrank により計算され x1j, x2j, ...xmx,j から取得された xsj の順位です。

    • rtj は、tiedrank により計算され y1j, y2j, ...ymy,j から取得された ytj の順位です。

    • rs および rt は、xs および yt の座標単位の順位ベクトルです。すなわち、rs = (rs1, rs2, ... rsn) で rt = (rt1, rt2, ... rtn) です。

    • r¯s=1njrsj=(n+1)2

    • r¯t=1njrtj=(n+1)2

拡張機能

R2010a で導入