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多重比較

はじめに

分散分析 (ANOVA) 手法では、一連のグループの平均 (処理効果) が等しいかどうかを検定します。帰無仮説が棄却された場合、すべてのグループの平均が等しいわけではないという結論が得られます。しかし、この結果からはどのグループの平均が異なるかに関する詳しい情報は得られません。

どの平均のペアが有意に異なるかを判別するために一連の t 検定を実行することは推奨されません。複数の t 検定を実行した場合、平均が有意であると考えられる確率と有意差の結果は、多数の検定を行ったことが原因かもしれません。これらの t 検定は、同じ標本のデータを使用するので、独立していません。このため、複数の検定の有意水準を定量化することがより困難になります。

実際には真である帰無仮説 (H₀) が 1 回の t 検定で棄却される確率が小さい値 (たとえば 0.05) であるとします。そして、独立した t 検定を 6 回行ったとします。各検定の有意水準が 0.05 の場合、H₀ が各ケースについて真であるとすると、H₀ が検定により棄却できないという正しい結果になる確率は (0.95)⁶ = 0.735 です。そして、いずれかの検定により帰無仮説が誤って棄却される確率は 1 - 0.735 = 0.265 になります。これは、0.05 よりはるかに大きい値です。

複数検定の補正には、多重比較法が使用できます。Statistics and Machine Learning Toolbox™ の関数 multcompare は、グループの平均 (処理効果) を多重対比較します。オプションとして、テューキーの HSD 法の基準 (既定のオプション)、ボンフェローニの方法、シェッフェの方法、フィッシャーの最小有意差 (LSD) 法、および t 検定に対するダンとシダックのアプローチがあります。

グループの平均の多重比較を実行するには、構造体 stats を multcompare の入力引数として指定します。stats は、次の関数のいずれかから取得できます。

• anova1 — 1 因子 ANOVA

• anova2 — 2 因子 ANOVA

• anovan — 多因子 ANOVA

• aoctool — 対話型 ANCOVA

• kruskalwallis — 1 因子レイアウトについてのノンパラメトリック手法

• friedman — 2 因子レイアウトについてのノンパラメトリック手法

反復測定の多重比較法のオプションについては、multcompare (RepeatedMeasuresModel) を参照してください。

1 因子 ANOVA による多重比較

標本データを読み込みます。

load carsmall

MPG は各自動車のガロンあたりの走行マイル数、Cylinders は各自動車の気筒の数 (4、6 または 8) を表します。

気筒数が異なる自動車ではガロンあたりの走行マイル数 (mpg) の平均が異なるかどうかを検定します。また、多重比較検定に必要な統計量も計算します。

[p,~,stats] = anova1(MPG,Cylinders,'off');
p

p = 4.4902e-24

p 値は約 0 という小さい値なので、気筒数が異なる自動車ではガロンあたりの走行マイル数の平均が有意に異なることが強く示されます。

ボンフェローニの方法を使用して多重比較検定を実行し、どの気筒数で自動車の性能が異なるかを判別します。

[results,means] = multcompare(stats,'CType','bonferroni')

results = 3×6

    1.0000    2.0000    4.8605    7.9418   11.0230    0.0000
    1.0000    3.0000   12.6127   15.2337   17.8548    0.0000
    2.0000    3.0000    3.8940    7.2919   10.6899    0.0000

means = 3×2

   29.5300    0.6363
   21.5882    1.0913
   14.2963    0.8660

行列 results で 1、2 および 3 はそれぞれ気筒数が 4、6 および 8 の自動車に対応しています。初めの 2 列には、どのグループを比較したかが示されています。たとえば、1 行目では 4 気筒の自動車と 6 気筒の自動車を比較しています。4 列目には、比較したグループにおける平均 mpg の差が示されています。3 列目と 5 列目には、グループ平均の差に関する 95% の信頼区間の下限と上限が示されています。最後の列には、検定の p 値が示されています。すべての p 値がゼロなので、すべてのグループの平均 mpg がすべてのグループで異なっていることがわかります。

図の青いバーは、4 気筒の自動車のグループを表しています。赤いバーは、他のグループを表しています。自動車の平均 mpg についてどの赤い比較区間も重なっていないので、気筒数が 4、6 または 8 の車では平均 mpg が有意に異なることがわかります。

行列 means の 1 列目には、自動車の各グループについて平均 mpg の推定値が格納されます。2 列目には、推定値の標準誤差が格納されます。

3 因子 ANOVA の多重比較

標本データを読み込みます。

y = [52.7 57.5 45.9 44.5 53.0 57.0 45.9 44.0]';
g1 = [1 2 1 2 1 2 1 2];
g2 = {'hi';'hi';'lo';'lo';'hi';'hi';'lo';'lo'};
g3 = {'may';'may';'may';'may';'june';'june';'june';'june'};

y は応答ベクトル、g1、g2 および g3 はグループ化変数 (因子) です。各因子には 2 つのレベルがあり、y のすべての観測値は因子のレベルの組み合わせによって識別されます。たとえば、観測値 y(1) は、因子 g1 のレベル 1、因子 g2 のレベル 'hi' および因子 g3 のレベル 'may' に関連付けられています。同様に、観測値 y(6) は、因子 g1 のレベル 2、因子 g2 のレベル 'hi' および因子 g3 のレベル 'june' に関連付けられています。

すべての因子レベルについて応答が同じであるか検定します。また、多重比較検定に必要な統計量も計算します。

[~,~,stats] = anovan(y,{g1 g2 g3},'model','interaction',...
    'varnames',{'g1','g2','g3'});

0.2578 という p 値は、因子 g3 のレベル 'may' および 'june' について平均応答が有意には異なっていないことを示しています。0.0347 という p 値は、因子 g1 のレベル 1 および 2 について平均応答が有意に異なっていることを示しています。同様に、0.0048 という p 値は、因子 g2 のレベル 'hi' および 'lo' について平均応答が有意に異なっていることを示しています。

多重比較検定を実行し、因子 g1 および g2 についてどのグループが有意に異なるかを調べます。

results = multcompare(stats,'Dimension',[1 2])

results = 6×6

    1.0000    2.0000   -6.8604   -4.4000   -1.9396    0.0280
    1.0000    3.0000    4.4896    6.9500    9.4104    0.0177
    1.0000    4.0000    6.1396    8.6000   11.0604    0.0143
    2.0000    3.0000    8.8896   11.3500   13.8104    0.0108
    2.0000    4.0000   10.5396   13.0000   15.4604    0.0095
    3.0000    4.0000   -0.8104    1.6500    4.1104    0.0745

multcompareは、2 つのグループ化変数 g1 および g2 についてグループ (レベル) の組み合わせを比較します。行列 results で、数値 1 は g1 のレベル 1 と g2 のレベル hi の組み合わせに、数値 2 は g1 のレベル 2 と g2 のレベル hi の組み合わせに対応しています。同様に、3 という数値は g1 のレベル 1 と g2 のレベル lo の組み合わせに、4 という数値は g1 のレベル 2 と g2 のレベル lo の組み合わせに対応しています。この行列の最後の列には、p 値が格納されています。

たとえば、この行列の 1 行目は、g1 のレベル 1 と g2 のレベル hi の組み合わせが g1 のレベル 2 と g2 のレベル hi の組み合わせと同じ平均応答値になっていることを示しています。この検定に対応する p 値は 0.0280 なので、平均応答が有意に異なっていることがわかります。この結果は、図からもわかります。青いバーは、g1 のレベル 1 と g2 のレベル hi の組み合わせについて平均応答の比較区間を示しています。赤いバーは、他のグループの組み合わせについて平均応答の比較区間を示しています。どの赤いバーも青いバーと重なっていないので、g1 のレベル 1 と g2 のレベル hi の組み合わせの平均応答が他のグループの組み合わせの平均応答と有意に異なっていることがわかります。

対応するグループの比較区間をクリックすると、他のグループについて検定を行うことができます。クリックしたバーは青になります。有意に異なるグループのバーは、赤になります。有意には異ならないグループのバーは、灰色になります。たとえば、g1 のレベル 1 と g2 のレベル lo の組み合わせの比較区間をクリックすると、g1 のレベル 2 と g2 のレベル lo の組み合わせの比較区間は重なるので灰色になります。逆に、他の比較区間は赤になり、有意に異なることを示します。

多重比較法

multcompare で行う多重比較法を指定するには、'CType' という名前と値のペアの引数を使用します。multcompare では、次の手順を使用できます。

• テューキーの HSD 法

• ボンフェローニの方法

• ダンとシダックのアプローチ

• 最小有意差

• シェッフェの方法

テューキーの HSD 法

テューキーの HSD 法を指定するには、'CType','Tukey-Kramer' または 'CType','hsd' という名前と値のペアの引数を使用します。検定は、スチューデント化された範囲分布に基づいて行われます。H₀:α_i = α_j は次の場合に棄却されます。

$$\left|t\right|=\frac{\left|{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j\right|}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}>\frac{1}{\sqrt{2}}{q}_{\alpha ,k,N-k,}$$

ここで、$$q_{\alpha ,k,N-k}$$ は、パラメーター k および自由度 N - k でスチューデント化された範囲分布の上位 100*(1 - α) 番目の百分位数です。k はグループ数 (処理数または周辺平均)、N は観測値の総数です。

テューキーの HSD 法は、平衡型の 1 因子 ANOVA および標本サイズが等しい同様の手順に最適です。サイズの異なる標本による 1 因子 ANOVA の場合も、標準的であることが実証されています。まだ証明されていないテューキー クレーマーの推測によると、不平衡共変量値をもつ共分散の分析に見られるように、比較対象の数量が相関をもつ問題に対しても正確です。

ボンフェローニの方法

ボンフェローニの方法を指定するには、'CType','bonferroni' という名前と値のペアを使用します。この方法では、多重比較を補正するように調整した後でスチューデント t 分布の棄却限界値を使用します。H₀:α_i = α_j は $$\alpha /2\left(\begin{array}{l}k\\ 2\end{array}\right)$$ という有意水準で棄却されます。k は次の場合のグループ数です。

$$\left|t\right|=\frac{\left|{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j\right|}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}>t_{\raisebox{1ex}{$\alpha $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2\left(\begin{array}{c}k\\ 2\end{array}\right)$}\right.,N-k,}$$

ここで、N は観測値の総数、k はグループ数 (周辺平均) です。このアルゴリズムは保守的ですが、通常、Scheffé アルゴリズムほど保守的ではありません。

ダンとシダックのアプローチ

ダンとシダックのアプローチを指定するには、'CType','dunn-sidak' という名前と値のペアの引数を使用します。このアプローチでは、ダンにより提唱されシダックにより証明された調整を多重比較に対して行った後で t 分布の棄却限界値を使用します。H₀:α_i = α_j は次の場合に棄却されます。

$$\left|t\right|=\frac{\left|{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j\right|}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}>t_{1-\eta /2,v,}$$

ここで、

$$\eta =1-{\left(1-\alpha \right)}^{{}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(\begin{array}{l}k\\ 2\end{array}\right)$}\right.}}$$

k はグループ数です。この過程は、ボンフェローニのアルゴリズムに似ていますが、それほど保守的ではありません。

最小有意差

最小有意差法を指定するには、'CType','lsd' という名前と値のペアの引数を使用します。この検定では次の検定統計量を使用します。

$$t=\frac{{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}.$$

H₀:α_i = α_j は次の場合に棄却されます。

$$\left|{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j\right|>\underset{LSD}{\underbrace{t_{\raisebox{1ex}{$\alpha $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,N-k}\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}}.$$

フィッシャーは、帰無仮説 H₀: α₁ = α₂ = ... = α_k が ANOVA の F 検定によって棄却された場合のみ LSD を実行し、多重比較を防ぐことを提案しています。この場合でも、LSD ではどの仮説も棄却されない可能性があります。また、一部のグループの平均に差がある場合でも、ANOVA では H₀ が棄却されない可能性がありますこのような状況になるのは、残りのグループ平均が等しいため F 検定統計量が有意でなくなる可能性があるからです。他の条件がないと、LSD では多重比較の問題を防止できません。

シェッフェの方法

シェッフェの方法を指定するには、'CType','scheffe' という名前と値のペアの引数を使用します。棄却限界値は F 分布から導き出されます。H₀:α_i = α_j は次の場合に棄却されます。

$$\frac{\left|{\overline{y}}_i-{\overline{y}}_j\right|}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}>\sqrt{\left(k-1\right)F_{k-1,N-k,\alpha }}$$

この方法では、平均のすべての線形結合の比較について同時信頼度が与えられます。ペアの間の単純な差を比較するための、保守的なアルゴリズムです。

参照

[1] Milliken G. A. and D. E. Johnson. Analysis of Messy Data. Volume I: Designed Experiments. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press, 1992.

[2] Neter J., M. H. Kutner, C. J. Nachtsheim, W. Wasserman. 4th ed. Applied Linear Statistical Models.Irwin Press, 1996.

[3] Hochberg, Y., and A. C. Tamhane. Multiple Comparison Procedures. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 1987.

参考

anova1 | anova2 | anovan | aoctool | friedman | kruskalwallis | multcompare

関連するトピック

• 1 因子 ANOVA の実行
• 2 因子 ANOVA の実行

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