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PID コントローラーの制約の学習と適用

この例では、データから制約を学習させ、それらの制約を PID 制御アプリケーションに適用する方法を示します。最初に、深層ニューラル ネットワークを使用して制約関数に学習させます。これには Deep Learning Toolbox™ ソフトウェアが必要です。その後、Constraint Enforcement ブロックを使用して PID 制御動作に制約を適用します。

この例では、プラント ダイナミクスは次の方程式 [1] で記述されます。

$$\begin{array}{l}{\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}_1=-x_1+(x_1^2+1)u_1\\ {\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}_2=-x_2+(x_2^2+1)u_2\end{array}$$

プラントの目標は、次の軌跡を追跡することです。

$$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}=0.1\pi \\ {\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}_{1d}=-r\cos (\theta )\\ {\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}_{2d}=r\sin (\theta )\end{array}$$

同じ PID 制御アプリケーションに既知の制約関数を適用する例については、PID コントローラーに対する制約の適用を参照してください。

乱数シードを設定し、モデルのパラメーターと初期条件を構成します。

rng(0);           % Random seed
r = 1.5;          % Radius for desired trajectory
Ts = 0.1;         % Sample time
Tf = 22;          % Duration
x0_1 = -r;        % Initial condition for x1
x0_2 = 0;         % Initial condition for x2
maxSteps = Tf/Ts; % Simulation steps

PID コントローラーの設計

制約を学習させて適用する前に、基準軌跡を追跡するための PID コントローラーを設計します。trackingWithPIDs モデルには、PID 調整器アプリを使用して調整されたゲインをもつ 2 つの PID コントローラーが含まれています。Simulink モデルにおける PID コントローラーの調整の詳細については、Simulink でのモデルベースの PID 調整の紹介を参照してください。

mdl = "trackingWithPIDs";
open_system(mdl)

PID コントローラーをシミュレートし、追従性能をプロットします。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = logData{3}.Values.Data;
x2_traj = logData{4}.Values.Data;
x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure("Name","Tracking")
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
plot(x1_des,x2_des,"r")
xlabel("x1")
ylabel("x2")
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,"b:","LineWidth",2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),"g*")
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),"go")
legend("Desired","Trajectory","Start","End")

制約関数

この例では、アプリケーションの制約を学習させ、それらの制約を満たすように PID コントローラーの制御動作を変更します。

プラントの実行可能領域は、制約 $\left\{\mathit{x}:{\mathit{x}}_1\le 1,{\mathit{x}}_2\le 1\right\}$ で与えられます。したがって、軌跡 ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}={\left[{\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}+1\right){\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}+1\right)\right]}^{\prime }$ は ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\le 1$ を満たさなければなりません。

プラント ダイナミクスを次の方程式で近似できます。

${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\approx \mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right]{\mathit{u}}_{\mathit{k}}$

制約をこの方程式に適用すると、以下の制約関数が生成されます。

$\mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right]{\mathit{u}}_{\mathit{k}}\le \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Constraint Enforcement ブロックは、形式 ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}+{\mathit{g}}_{\mathit{x}}\mathit{u}\le \mathit{c}$ の制約を受け入れます。このアプリケーションの場合、この制約関数の係数は以下のとおりです。

$${\mathit{f}}_{\mathit{x}}=\mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{g}}_{\mathit{x}}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right],\mathit{c}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

制約関数の学習

この例では、制約関数の係数が不明です。したがって、学習データから導出しなければなりません。学習データの収集には rlCollectDataPID モデルを使用します。このモデルでは、プラント モデルにゼロまたは乱数のいずれかの入力を渡し、結果のプラント出力を記録できます。

mdl = "rlCollectDataPID";
open_system(mdl)

不明な行列 $\mathit{A}$ を学習させるには、プラント入力をゼロに設定します。これを行うと、プラント ダイナミクスは ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\approx \mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}$ となります。

blk = mdl + "/Manual Switch";
set_param(blk,"sw","1");

補助関数 collectDataPID を使用して学習データを収集します。この関数は、モデルを複数回シミュレートし、入出力データを抽出します。また、学習データの形式を整えて、${\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}\right)$、${\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}\right)$、${\mathit{u}}_1\left(\mathit{k}\right)$、${\mathit{u}}_2\left(\mathit{k}\right)$、${\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}+1\right)$、および ${\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}+1\right)$ の 6 列で構成される配列にします。

numSamples = 1000;
data = collectDataPID(mdl,numSamples);

入出力データを使用して $\mathit{A}$ の最小二乗解を求めます。

inputData = data(:,1:2);
outputData = data(:,5:6);
A = inputData\outputData;

学習データを収集します。不明な関数 ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ を学習させるには、正規分布する乱数の入力値を使用するようにモデルを構成します。

% Configure model to use random input data.
set_param(blk,"sw","0");

% Collect data.
data = collectDataPID(mdl,numSamples);

補助関数 trainConstraintPID を使用して、深層ニューラル ネットワークに学習させて関数 ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ を近似します。この関数は、学習するデータの形式を整えてから、深層ニューラル ネットワークを作成して学習させます。深層ニューラル ネットワークの学習には Deep Learning Toolbox ソフトウェアが必要です。

深層ニューラル ネットワークへの入力はプラントの状態です。収集された状態情報を抽出して入力学習データを作成します。

inputData = data(:,1:2);

深層ニューラル ネットワークの出力は ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ に対応するため、出力学習データは収集された入出力データと計算された $\mathit{A}$ 行列を使用して導出しなければなりません。

u = data(:,3:4);
x_next = data(:,5:6);
fx = (A*inputData')';
outputData = (x_next - fx)./u;

入出力データを使用してネットワークの学習を行います。

network = trainConstraintPID(inputData,outputData);

結果のネットワークを MAT ファイルに保存します。

save("trainedNetworkPID","network")

制約の適用を使用した PID コントローラーのシミュレーション

制約の適用を使用した PID コントローラーのシミュレーションには trackingWithLearnedConstraintPID モデルを使用します。このモデルでは、コントローラーの出力をプラントへの適用前に制約します。

mdl = "trackingWithLearnedConstraintPID";
open_system(mdl)

制約の実装を表示するには、Constraint サブシステムを開きます。ここで、学習済みの深層ニューラル ネットワークによって現在のプラントの状態に基づいて ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ が近似され、Constraint Enforcement ブロックによって制約関数が適用されます。

モデルをシミュレートし、結果をプロットします。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{5}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{2}.Values.Data;
x2_des = logData{3}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure("Name","Tracking with Constraint");
plot(x1_des,x2_des,"r")
xlabel("x1")
ylabel("x2")
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,"b:","LineWidth",2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),"g*")
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),"go")
legend("Desired","Trajectory","Start","End",...
    "Location","best")

Constraint Enforcement ブロックによって、プラントが 1 より小さい状態を維持するように、正常に制御動作が制約されています。

参考文献

[1] Robey, Alexander, Haimin Hu, Lars Lindemann, Hanwen Zhang, Dimos V. Dimarogonas, Stephen Tu, and Nikolai Matni. "Learning Control Barrier Functions from Expert Demonstrations." Preprint, submitted April 7, 2020. https://arxiv.org/abs/2004.03315

参考

ブロック

• Constraint Enforcement

アプリ

• PID 調整器

関連するトピック

• 制御設計への制約の適用
• PID コントローラーに対する制約の適用
• 制約の適用を使用した強化学習エージェントの学習
• Simulink でのモデルベースの PID 調整の紹介

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