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PID コントローラーに対する制約の適用

以下の例では、Constraint Enforcement ブロックを使用して、既知の制約を PID 制御アプリケーションに適用する方法を説明します。

概要

この例では、プラント ダイナミクスは次の方程式で記述されます [1]。

x˙1=-x1+(x12+1)u1x˙2=-x2+(x22+1)u2

プラントの目標は、次のように定義された望ましい軌跡を追従することです。

θ˙=0.1πx˙1d=-rcos(θ)x˙2d=rsin(θ)

同じ PID 制御アプリケーションに対して、既知の制約関数を学習し、適用する例については、PID コントローラーの制約の学習と適用を参照してください。

モデル パラメーターと初期状態を設定します。

r = 1.5;   % Radius for desired trajectory
Ts = 0.1;  % Sample time
Tf = 22;   % Duration
x0_1 = -r; % Initial condition for x1
x0_2 = 0;  % Initial condition for x2

PID コントローラーの設計

制約を適用する前に、基準軌跡を追従するための PID コントローラーを設計します。trackingWithPIDs モデルには、PID 調整器アプリを使用して調整されたゲインをもつ 2 つの PID コントローラーが含まれています。Simulink モデルにおける PID コントローラーの調整の詳細については、Simulink でのモデルベースの PID 調整の紹介を参照してください。

mdl = 'trackingWithPIDs';
open_system(mdl)

PID コントローラーをシミュレートし、追従性能をプロットします。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = logData{3}.Values.Data;
x2_traj = logData{4}.Values.Data;
x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking')
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('Desired','Trajectory','Start','end')

Figure Tracking contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type line. These objects represent Desired, Trajectory, Start, end.

制約関数

この例では、Constraint Enforcement ブロックを使用して、既知の制約をアプリケーションに適用します。このブロックは、制約関数を満たすように制御動作を調整します。

この例では、プラントの実行可能領域は、{x:x11,xx1} で与えられます。したがって、プラントの次状態の条件 xk+1=[x1(k+1)x2(k+1)]xk+1[11] を満たさなければなりません。

プラント ダイナミクスを次の方程式で近似できます。

xk+1[(1-Ts)00(1-Ts)]xk+[Ts(1+x12(k))00Ts(1+x22(k))]uk

制約をこの方程式に適用すると、以下の制約関数が生成されます。

[(1-Ts)00(1-Ts)]xk+[Ts(1+x12(k))00Ts(1+x22(k))]uk[11]

Constraint Enforcement ブロックは、形式 fx+gxuc の制約を受け入れます。このアプリケーションの場合、この制約関数の係数は以下のとおりです。

fx=[(1-Ts)00(1-Ts)]xk,gx=[Ts(1+x12(k))00Ts(1+x22(k))],c=[11]

Constraint Enforcement を使用した PID コントローラーのシミュレーション

trackingWithConstraintPID モデルには、PID コントローラー、プラント ダイナミクス、および制約の実装が含まれています。

mdl = 'trackingWithKnownConstraintPID';
open_system(mdl)

制約の実装を表示するには、Constraint サブシステムを開きます。ここで、モデルは MATLAB Function ブロックを使用して既知の制約関数を実装しており、Constraint Enforcement ブロックにより制約関数が適用されます。

モデルを実行し、シミュレーション結果をプロットします。このプロットから、プラントの状態が 1 より小さいことがわかります。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{5}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{2}.Values.Data;
x2_des = logData{3}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('Desired','Trajectory','Start','End','Location','best')

Figure Tracking with Constraint contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type line. These objects represent Desired, Trajectory, Start, End.

Constraint Enforcement ブロックによって、プラントが 1 より小さい状態を維持するように、正常に制御動作が制約されています。

bdclose('trackingWithPIDs')
bdclose('trackingWithKnownConstraintPID')

参考文献

[1] Robey, Alexander, Haimin Hu, Lars Lindemann, Hanwen Zhang, Dimos V. Dimarogonas, Stephen Tu, and Nikolai Matni. "Learning Control Barrier Functions from Expert Demonstrations." Preprint, submitted April 7, 2020. https://arxiv.org/abs/2004.03315

参考

ブロック

アプリ

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