mldivide, \

x に対する線形方程式 Ax = B の求解

構文

x = A\B

x = mldivide(A,B)

説明

x = A\B は線形方程式系 A*x = B を解きます。行列 A と行列 B の行数は同じでなければなりません。MATLAB^® は、A のスケールが不適当またはほぼ特異値の場合は警告メッセージを表示しますが、計算は関係なく実行します。

• A がスカラーの場合、A\B は A.\B と等価です。

• A が n 行 n 列の正方行列、B が n 行の行列である場合、x = A\B は存在する場合は方程式 A*x = B の解となります。

• A が m ~= n である m 行 n 列の方形行列で、B が m 行の行列の場合、A\B は方程式系 A*x= B の最小二乗解を返します。

x = mldivide(A,B) は x = A\B の代替方法として実行できますが、まれにしか使用されません。これにより、クラスの演算子のオーバーロードが可能です。

例

方程式

単純な線形方程式 A*x = B を解きます。

A = magic(3);
B = [15; 15; 15];
x = A\B

x = 3×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000

特異行列を扱う線形方程式

特異行列 A を含む線形方程式系 A*x = b を解きます。

A = magic(4);
b = [34; 34; 34; 34];
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.306145e-17.

x = 4×1

    1.5000
    2.5000
   -0.5000
    0.5000

rcond が 0 と eps の間にある場合、特異行列に近いことを示す警告が MATLAB® によって表示されますが、計算は続行されます。悪条件の行列を扱う場合、残差 (b-A*x) が比較的小さい値であっても信頼できない解となる可能性があります。この例では、rcond が小さい値であっても、残差のノルムは 0 であり、厳密解が得られます。

rcond が 0 に等しい場合、特異値の警告が表示されます。

A = [1 0; 0 0];
b = [1; 1];
x = A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

     1
   Inf

この場合、ゼロ除算により Inf や NaN の計算が発生し、計算結果が信頼できないものになります。

劣決定系の最小二乗解

線形方程式系 A*x = b を解きます。

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b

x = 3×1

         0
    4.0000
    0.6667

スパース行列を扱う線形方程式

スパース行列を使って単純な線形方程式を解きます。

以下の行列方程式 A*x = B を考えます。

A = sparse([0 2 0 1 0; 4 -1 -1 0 0; 0 0 0 3 -6; -2 0 0 0 2; 0 0 4 2 0]);
B = sparse([8; -1; -18; 8; 20]);
x = A\B

x = 
   (1,1)       1.0000
   (2,1)       2.0000
   (3,1)       3.0000
   (4,1)       4.0000
   (5,1)       5.0000

入力引数

A, B — オペランド

ベクトル | 非スパース行列 | スパース行列

オペランド。ベクトル、非スパース行列またはスパース行列として指定します。A と B の行数は同じでなければなりません。

• A または B の一方が整数データ型をもつ場合、もう一方の入力はスカラーでなければなりません。整数データ型のオペランドは、複素数にできません。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char
複素数のサポート: あり

出力引数

x — 解

ベクトル | 非スパース行列 | スパース行列

ベクトル、非スパース行列またはスパース行列として返される解。A が m 行 n 列の行列で B が m 行 p 列の行列の場合、x は、n 行 p 列の行列になります。これは p==1 の場合を含みます。

A が非スパース ストレージの場合、x も非スパースになります。A がスパース行列の場合、x は B と同じストレージをもちます。

ヒント

• 演算子 / と演算子 \ は、方程式 B/A = (A'\B')' によって相互に関連しています。

• A が正方行列の場合には、A\B は inv(A)*B におおよそ等しくなりますが、MATLAB は別の方法でより確実に A\B を処理します。

• A のランクが A の列数よりも小さい場合、x = A\B は最小ノルム解であるとは限りません。最小ノルムの最小二乗解は、x = lsqminnorm(A,B) または x = pinv(A)*B を使用して計算できます。

• 線形システムを異なる右辺について効率的に複数回解くには、decomposition オブジェクトを使用します。decomposition オブジェクトは繰り返して解を求める必要のある問題に適しています。これは、係数行列の分解を複数回実行する必要がないためです。

アルゴリズム

mldivide が線形システムを解く際の多様性は、適切なソルバーにディスパッチすることで問題の対称性を利用する能力に起因します。この方法は、計算時間を最小限に抑えることを目的としています。関数は、最初に "非スパース" ("密" とも呼ばれる) 入力配列と、"スパース" 入力配列との差異を区別します。

非スパース入力のアルゴリズム

以下のフローチャートは、入力 A と B が非スパースの場合のアルゴリズム パスを示します。

スパース入力のアルゴリズム

A が非スパースで B がスパースの場合、mldivide は B を非スパース行列に変換し、非スパース アルゴリズム パス (上記) を使用して非スパース ストレージの解を計算します。A がスパースの場合は、以下に示すように、解 x のストレージは B のストレージと同じになり、mldivide はスパース入力のアルゴリズム パスをたどります。

参照

[1] Gilbert, John R., and Tim Peierls. “Sparse Partial Pivoting in Time Proportional to Arithmetic Operations.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 9, no. 5 (September 1988): 862–874. https://doi.org/10.1137/0909058.

[2] Anderson, E., ed. LAPACK Users’ Guide. 3rd ed. Software, Environments, Tools. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.

[3] Davis, Timothy A. "Algorithm 832: UMFPACK V4.3 – an unsymmetric-pattern multifrontal method." ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 196–199. https://doi.org/10.1145/992200.992206.

[4] Duff, Iain S. “MA57---a Code for the Solution of Sparse Symmetric Definite and Indefinite Systems.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 118–144. https://doi.org/10.1145/992200.992202.

[5] Davis, Timothy A., John R. Gilbert, Stefan I. Larimore, and Esmond G. Ng. “Algorithm 836: COLAMD, a Column Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 377–380. https://doi.org/10.1145/1024074.1024080.

[6] Amestoy, Patrick R., Timothy A. Davis, and Iain S. Duff. “Algorithm 837: AMD, an Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 381–388. https://doi.org/10.1145/1024074.1024081.

[7] Chen, Yanqing, Timothy A. Davis, William W. Hager, and Sivasankaran Rajamanickam. “Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate.” ACM Transactions on Mathematical Software 35, no. 3 (October 2008): 1–14. https://doi.org/10.1145/1391989.1391995.

[8] Davis, Timothy A. “Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal Multithreaded Rank-Revealing Sparse QR Factorization.” ACM Transactions on Mathematical Software 38, no. 1 (November 2011): 1–22. https://doi.org/10.1145/2049662.2049670.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を制限付きでサポートしています。

構文 Z = X\Y の場合、配列 X はスカラーか、または Y と同じ行数をもつ tall 行列でなければなりません。

詳細については、メモリに収まらないデータの tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• スパース行列入力の場合、言語標準は C99 以降でなければなりません。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• スパース行列入力の場合、言語標準は C99 以降でなければなりません。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

使用上の注意事項および制限事項:

• A が方形の場合、同時に非スパースでなければなりません。

• MATLAB 関数 mldivide は、A が正しくスケーリングされていないか、ほぼ特異か、またはランク落ちしている場合、警告を出力します。gpuArray の mldivide ではこの条件を確認できません。この条件の回避措置を取ってください。

• 64 ビット整数はサポートされません。

詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

使用上の注意事項および制限事項:

• MATLAB 関数 mldivide は、A が正しくスケーリングされていないか、ほぼ特異か、またはランク落ちしている場合、警告を出力します。分散配列の mldivide ではこの条件を確認できません。この条件の回避措置を取ってください。

詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2022b: 小規模行列でのパフォーマンスの向上

関数 mldivide では、小規模な係数行列 A をもつ線形方程式系 A*x = b を解くときのパフォーマンスが向上しました。16 行 16 列またはそれより小さい実数行列、および 8 行 8 列またはそれより小さい複素数行列で、パフォーマンスの向上が見られます。

たとえば、次のコードは 12 行 12 列の実数行列で指定された線形方程式系を解きます。直前のリリースと比較して、このコードは約 1.7 倍速くなっています。

function mldividePerf
A = rand(12);
for k = 1:1e5
    x = A\A;
end
end

おおよその実行時間は以下のとおりです。

R2022a: 0.72 秒

R2022b: 0.42 秒

このコードの時間測定では、Windows^® 10、Intel^® Xeon^® CPU W-2133 (3.60 GHz) 搭載のテスト システムで、関数 timeit を使用しました。

timeit(@mldividePerf)

R2022a: LDL 分解は非スパース行列に対して使用されない

LDL 分解はエルミート不定値の非スパース行列に対し使用されなくなりました。代わりに、LU 分解がこれらの行列に対し使用されます。

参考

mrdivide | ldivide | rdivide | inv | pinv | chol | lu | qr | ldl | linsolve | lsqminnorm | spparms | decomposition

トピック

• 配列と行列の演算
• 演算子の優先順位
• 線形方程式
• 演算子のオーバーロード
• MATLAB の演算子と特殊文字

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