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inv

逆行列

構文

Y = inv(X)

説明

Y = inv(X) は、正方行列 X の逆行列を計算します。

• X^(-1) は inv(X) と等価です。

• x = A\b は x = inv(A)*b とは異なる方法で計算され、連立線形方程式の求解に推奨されます。

例

逆行列

3 行 3 列の行列の逆行列を計算します。

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]

X = 3×3

     1     0     2
    -1     5     0
     0     3    -9

Y = inv(X)

Y = 3×3

    0.8824   -0.1176    0.1961
    0.1765    0.1765    0.0392
    0.0588    0.0588   -0.0980

結果をチェックします。理想的には、Y*X は単位行列を生成します。inv は浮動小数点計算を使用して逆行列を求めるため、実際には、Y*X は単位行列 eye(size(X)) に近くなりますが、厳密に等価ではありません。

Y*X

ans = 3×3

    1.0000    0.0000   -0.0000
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000

線形システムの求解

inv(A)*b を使用した逆行列による線形システムの求解が、バックスラッシュ演算子を使用した直接的な求解 x = A\b より劣る理由を調べます。

500 次の乱数行列 A を、条件数 cond(A) が 1e10 でノルム norm(A) が 1 となるように作成します。厳密解 x は長さ 500 の乱数ベクトルで、右辺は b = A*x になります。したがって、この線形方程式系は悪条件ですが、矛盾はありません。

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

線形システム A*x = b を、係数行列 A の逆行列を求めることで解きます。タイミング情報を取得するには、tic および toc を使用します。

tic
y = inv(A)*b; 
t = toc

t = 0.5247

計算の絶対誤差と残差誤差を見つけます。

err_inv = norm(y-x)

err_inv = 3.3813e-06

res_inv = norm(A*y-b)

res_inv = 4.6577e-07

ここで、バックスラッシュ演算子 \ を使用して同じ線形システムを解きます。

tic
z = A\b;
t1 = toc

t1 = 0.3137

err_bs = norm(z-x)

err_bs = 2.6561e-06

res_bs = norm(A*z-b)

res_bs = 2.6734e-15

バックスラッシュ計算の方が速く、残差誤差の桁数も少なくなります。err_inv と err_bs がどちらも 1e-6 単位の大きさであるという事実は、単に行列の条件数を反映したものです。

この例は典型的なものです。inv(A)*b の代わりに A\b を使用すると計算が 2 倍から 3 倍速くなり、残差はデータの大きさに対するコンピューターの相対的精度と同程度になります。

入力引数

X — 入力行列

正方行列

入力行列。正方行列として指定します。X のスケーリングが良好でなかったり、特異行列に近い場合、inv 計算の数値精度は失われます。行列の条件数をチェックするには、rcond または cond を使用します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

詳細

逆行列

行列 X は、$$XY=YX=I_n$$ となる同じサイズの行列 Y が存在する場合に可逆です。ここで、$$I_n$$ は n 行 n 列の単位行列です。行列 Y は、X の逆行列と呼ばれます。

逆行列のない行列は特異行列です。正方行列は、行列式が正確にゼロの場合のみ特異行列となります。

ヒント

• 行列の明示的な逆行列を求める必要はあまりありません。関数 inv は、線形方程式系 Ax = b を解くときにしばしば誤用されます。この方程式を解く 1 つの方法は、x = inv(A)*b を使うことです。実行時間と数値精度の両面でより優れた方法は、行列バックスラッシュ演算子を x = A\b のように使用することです。この場合、逆行列を明示的に求めることなく、ガウスの消去法を使って解を求めます。詳細については、mldivide を参照してください。

アルゴリズム

inv は、入力行列の LU 分解 (または、入力行列がエルミートの場合は LDL 分解) を実行します。その後、その結果を使用して、解が逆行列 inv(X) である線形システムを形成します。スパース入力の場合、inv(X) はスパース単位行列を作成し、バックスラッシュ X\speye(size(X)) を使用します。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 特異値行列の入力は、MATLAB^® の結果と異なる非有限値を生成する場合があります。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

• X は非スパースでなければなりません。

• MATLAB 関数 inv は、X が正しくスケーリングされていないか特異に近い場合、警告を出力します。gpuArray の inv ではこの条件を確認できません。この条件の回避措置を取ってください。

詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2022a: 大規模な三角行列の反転時のパフォーマンスが向上

関数 inv を大規模な三角行列で実行する際のパフォーマンスが向上しました。

たとえば、5,000 行 5,000 列の上三角行列を反転する場合、以前のリリースと比較して処理が約 3.7 倍速くなっています。

function timingInv
rng default
A = randn(5e3);
[~,R] = lu(A);

tic
Y = inv(R); 
toc
end

おおよその実行時間は以下のとおりです。

R2021b: 1.1 秒

R2022a: 0.3 秒

このコードの時間測定では、Windows^® 10、Intel^® Xeon^® CPU W-2133 (3.60 GHz) 搭載のテスト システムで、関数 timingInv を呼び出しました。

参考

det | lu | rref | mldivide