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スライディング ウィンドウ法と指数の重み付け法

メモ

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moving オブジェクトと moving ブロックは、スライディング ウィンドウ法と指数の重み付け法のいずれかまたは両方を使用して、ストリーミング信号の移動統計を計算します。スライディング ウィンドウ法は有限インパルス応答になります。一方、指数の重み付け法は無限インパルス応答になります。データの有限区間の統計量を解析するには、スライディング ウィンドウ法を使用します。指数の重み付け法は係数が少なくて済むため、組み込みアプリケーションにより適しています。

オブジェクト、ブロックスライディング ウィンドウ法指数の重み付け法
dsp.MedianFilterMedian Filter 
dsp.MovingAverageMoving Average
dsp.MovingMaximumMoving Maximum 
dsp.MovingMinimumMoving Minimum 
dsp.MovingRMSMoving RMS
dsp.MovingStandardDeviationMoving Standard Deviation
dsp.MovingVarianceMoving Variance

スライディング ウィンドウ法

スライディング ウィンドウ法では、データ上で指定の長さ Len のウィンドウをサンプルごとに移動させ、ウィンドウ内のデータの統計量を計算します。各入力サンプルの出力は、現在のサンプルと以前の Len -1 個のサンプルから成るウィンドウ内の統計量になります。最初のタイム ステップでは、最初の Len - 1 個の出力を計算する際にウィンドウにまだ十分なデータがない場合、アルゴリズムはウィンドウをゼロで埋めます。その後のタイム ステップでは、アルゴリズムは前のデータ フレームのサンプルを使用してウィンドウを埋めます。移動統計アルゴリズムは、状態をもち、前のデータを記憶します。

スライディング ウィンドウ法を使用してストリーミング入力データの移動平均を計算する例を考えます。アルゴリズムはウィンドウの長さ 4 を使用します。受け取った各入力サンプルで、長さ 4 のウィンドウがデータに沿って移動します。

このウィンドウは長さが有限であるため、このアルゴリズムは有限インパルス応答フィルターとなります。データの有限区間の統計量を解析するには、スライディング ウィンドウ法を使用します。

ウィンドウの長さの効果

ウィンドウの長さは、アルゴリズムが統計量の計算に使用するデータの長さを定義します。新しいデータが入ると、ウィンドウが移動します。ウィンドウが大きければ、計算された統計量はデータの定常統計量に近くなります。急速に変化しないデータの場合は、長いウィンドウを使用することで滑らかな統計量が得られます。急速に変化するデータの場合は、小さいウィンドウを使用します。

指数の重み付け法

指数の重み付け法は無限インパルス応答になります。このアルゴリズムでは、一連の重みが計算され、その重みがデータ サンプルに再帰的に適用されます。データが古くなるほど、重み係数の大きさは指数的に小さくなります (0 になることはありません)。つまり、現在のサンプルの統計量に対する影響は、古いデータよりも新しいデータの方が大きくなります。このアルゴリズムの応答は無限インパルス応答であるため、係数が少なくて済み、組み込みアプリケーションにより適しています。

重み係数の変化率は忘却係数の値で決まります。忘却係数 0.1 よりも忘却係数 0.9 の方が古いデータに対する重みが大きくなります。新しいデータにより大きな重みを与えるには、忘却係数を 0 に近づけます。急速に変化するデータの小さなシフトを検出する場合は、小さな値 (0.5 未満) のほうがより適しています。忘却係数が 1.0 の場合は無限に記憶します。以前のサンプルに対する重みはすべて同じになります。忘却係数の最適値は、データ ストリームによって異なります。与えられたデータ ストリームの忘却係数の最適値を計算する方法については、[1]を参照してください。

指数の重み付け法を使用して移動平均を計算する例を考えます。忘却係数は 0.9 です。

移動平均アルゴリズムでは、受け取った各データ サンプルについて、次の再帰方程式を使用して重みの更新と移動平均の計算が再帰的に行われます。

wN,λ=λwN1,λ+1x¯N,λ=(11wN,λ)x¯N1,λ+(1wN,λ)xN

  • λ — 忘却係数。

  • wN,λ — 現在のデータ サンプルに適用される重み係数。

  • xN — 現在のデータ入力サンプル。

  • x¯N1,λ — 前のサンプルの移動平均。

  • (11wN,λ)x¯N1,λ — 平均に対する前のデータの影響。

  • x¯N,λ — 現在のサンプルの移動平均。

データ重みwN,λ=λwN1,λ+1 平均値x¯N,λ=(11wN,λ)x¯N1,λ+(1wN,λ)xN
フレーム 1  
21. N = 1 の場合、この値は 1 になります。2
30.9×1+1 = 1.9(1–(1/1.9))×2+(1/1.9)×3 = 2.5263
40.9×1.9+1 = 2.71(1–(1/2.71))×2.52+(1/2.71)×4 = 3.0701
50.9×2.71+1 = 3.439(1–(1/3.439))×3.07+(1/3.439)×5 = 3.6313
フレーム 2  
60.9×3.439+1 = 4.095(1–(1/4.095))×3.6313+(1/4.095)×6 = 4.2097
70.9×4.095+1 = 4.6855(1–(1/4.6855))×4.2097+(1/4.6855)×7 = 4.8052
80.9×4.6855+1 = 5.217(1–(1/5.217))×4.8052+(1/5.217)×8 = 5.4176
90.9×5.217+1 = 5.6953(1–(1/5.6953))×5.4176+(1/5.6953)×9 = 6.0466
フレーム 3  
30.9×5.6953+1 = 6.1258(1–(1/6.1258))×6.0466+(1/6.1258)×3 = 5.5493
40.9×6.1258+1 = 6.5132(1–(1/6.5132))×5.5493+(1/6.5132)×4 = 5.3114
60.9×6.5132+1 = 6.8619(1–(1/6.8619))×5.3114+(1/6.8619)×6 = 5.4117
80.9×6.8619+1 = 7.1751(1–(1/7.1751))×5.4117+(1/7.1751)×8 = 5.7724

移動平均アルゴリズムは、状態をもち、前のタイム ステップのデータを記憶します。

最初のサンプルでは、N = 1 の場合、アルゴリズムによって wN,λ = 1 が選択されます。次のサンプルでは、重み係数が更新され、再帰方程式を使用して平均値が計算されます。

データが古くなるほど、重み係数の大きさは指数的に小さくなります (0 になることはありません)。つまり、現在の平均に対する影響は古いデータよりも新しいデータの方が大きくなります。

忘却係数が 0.5 の場合、忘却係数が 0.9 の場合と比べ、古いデータに適用される重みは小さくなります。

忘却係数が 1 の場合、すべてのデータ サンプルに同じ重みが適用されます。この場合、指数の重み付け法は、ウィンドウの長さが無限大であるスライディング ウィンドウ法と同じになります。

信号が急速に変化する場合は、小さな忘却係数を使用します。忘却係数が小さい場合、過去のデータが現在の平均値に与える効果は小さくなります。これにより、過渡特性がより急峻になります。例として、変化が急速でノイズを含むステップ信号を考えます。

指数の重み付け法を使用して、この信号の移動平均を計算します。忘却係数が 0.8、0.9、0.99 の場合について、アルゴリズムのパフォーマンスを比較します。

プロットをズームインすると、忘却係数が小さいときに移動平均の過渡特性が急峻であることがわかります。そのため、急速に変化するデータにより適しています。

移動平均アルゴリズムの詳細については、dsp.MovingAverage System object™ または Moving Average ブロックのページにあるアルゴリズムの節を参照してください。

その他の移動統計アルゴリズムの詳細については、System object および各ブロックのページにあるアルゴリズムの節を参照してください。

参照

[1] Bodenham, Dean. “Adaptive Filtering and Change Detection for Streaming Data.” PH.D. Thesis. Imperial College, London, 2012.

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