norm

線形モデルのノルム

構文

n = norm(sys)

n = norm(sys,2)

n = norm(sys,Inf)

[n,fpeak] = norm(sys,Inf)

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol)

説明

n = norm(sys) または n = norm(sys,2) は、線形動的システム モデル sys のインパルス応答の平方根平均二乗を返します。この値は sys の H₂ ノルムと等価です。

n = norm(sys,Inf) は、sys の L_∞ ノルムを返します。これは周波数全体での sys の周波数応答のピーク ゲインです。MIMO システムの場合、この量はすべての周波数とすべての入力方向についてのピーク ゲインになります。これは sys の最大特異値のピーク値に対応します。安定なシステムの場合、L_∞ ノルムは H_∞ ノルムと等価です。詳細については、hinfnorm (Robust Control Toolbox) を参照してください。

[n,fpeak] = norm(sys,Inf) は、ゲインがそのピーク値となる周波数 fpeak も返します。

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol) は L_∞ ノルムの相対精度を tol に設定します。

例

離散時間線形システムのノルムの計算

サンプル時間 0.1 秒で、次の離散時間伝達関数の $$H_2$$ ノルムと $$L_{\infty }$$ ノルムを計算します。

$$sys(z)=\frac{z^3-2.841z^2+2.875z-1.004}{z^3-2.417z^2+2.003z-0.5488}.$$

伝達関数の $$H_2$$ ノルムを計算します。$$H_2$$ ノルムは sys のインパルス応答の平方根平均二乗です。

sys = tf([1 -2.841 2.875 -1.004],[1 -2.417 2.003 -0.5488],0.1);
n2 = norm(sys)

n2 = 1.2438

伝達関数の $$L_{\infty }$$ ノルムを計算します。

[ninf,fpeak] = norm(sys,Inf)

ninf = 2.5721

fpeak = 3.0178

sys が安定なシステムなので、ninf は sys の周波数応答のピーク ゲインで、fpeak はピーク ゲインが発生する周波数です。getPeakGain を使用してこれらの値を確認します。

[gpeak,fpeak] = getPeakGain(sys)

gpeak = 2.5721

fpeak = 3.0178

入力引数

sys — 動的システム

動的システム モデル | モデル配列

入力動的システム。任意の SISO または MIMO 線形動的システム モデルまたはモデル配列として指定します。sys は連続時間または離散時間にできます。

tol — 相対精度

0.01 (既定値) | 正の実数のスカラー

H_∞ ノルムの相対精度。正の実数のスカラー値として指定します。

出力引数

n — H₂ または L_∞ ノルム

スカラー | 配列

sys の H₂ ノルムまたは L_∞ ノルム。スカラーまたは配列として返されます。

• sys が単一モデルの場合、n はスカラー値になります。

• sys がモデル配列の場合、n は n(k) = norm(sys(:,:,k)) の sys と同じサイズの配列になります。

fpeak — ピーク ゲインの周波数

実数スカラー | 実数値の配列

ゲインがピーク値 gpeak に達する周波数。実数スカラー値または実数値の配列として返されます。周波数はラジアン/TimeUnit 単位で、sys の TimeUnit プロパティに相対して表されます。

• sys が単一モデルの場合、fpeak はスカラーになります。

• sys がモデル配列の場合、fpeak は sys と同じサイズの配列になり、fpeak(k) は sys(:,:,k) のピーク ゲイン周波数になります。

fpeak は複素係数をもつシステムに対して負になる場合があります。

詳細

H2 ノルム

安定したシステム H の H₂ ノルムは、そのシステムのインパルス応答の平方根平均二乗です。H₂ ノルムは、ホワイト ノイズ入力 w に対する出力応答 y = Hw の定常状態共分散 (またはパワー) を測定します。

$${\Vert H\Vert }_2^2=\underset{t\to \infty }{\lim E}\left\{y{(t)}^{T}y(t)\right\},E\left(w(t)w{(\tau )}^T\right)=\delta \left(t-\tau \right)I.$$

伝達関数 H(s) のある連続時間システム H₂ ノルムは、次によって提供されます。

$${\Vert H\Vert }_2=\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\text{Trace}\left[H{(j\omega )}^{H}H(j\omega )\right]}d\omega }.$$

伝達関数 H(z) のある離散時間システムの場合、H₂ ノルムは次によって提供されます。

$${\Vert H\Vert }_2=\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\text{Trace}\left[H{(e^{j\omega })}^{H}H(e^{j\omega })\right]}d\omega }.$$

H₂ ノルムは次の場合に無限大になります。

• sys が不安定である

• sys が連続で、非ゼロの直達 (周波数 ω = ∞ で非ゼロのゲイン) をもつ

norm(sys) を使用すると sqrt(trace(covar(sys,1))) と同じ結果になります。

L∞ ノルム

SISO 線形システムの L_∞ ノルムは、周波数応答のピーク ゲインです。MIMO システムの場合、L_∞ ノルムはすべての入出力チャネルにわたるピーク ゲインです。

連続時間システム H(s) の場合、この定義は次を意味します。

$$\begin{array}{l}{\Vert H\left(s\right)\Vert }_{L_{\infty }}=\underset{\omega \in R}{\max }\left|H\left(j\omega \right)\right|\text{ (SISO})\\ \\ {\Vert H\left(s\right)\Vert }_{L_{\infty }}=\underset{\omega \in R}{\max }{\sigma }_{\max }\left(H\left(j\omega \right)\right)\text{ (MIMO})\end{array}$$

ここで σ_max(·) は行列の最大特異値を示します。

離散時間システム H(z) の場合、定義は次を意味します。

$$\begin{array}{l}{\Vert H\left(z\right)\Vert }_{L_{\infty }}=\underset{\theta \in \left[0,2\pi \right]}{\max }\left|H\left(e^{j\theta }\right)\right|\text{(SISO})\\ {\Vert H\left(z\right)\Vert }_{L_{\infty }}=\underset{\theta \in \left[0,2\pi \right]}{\max }{\sigma }_{\max }\left(H\left(e^{j\theta }\right)\right)\text{(MIMO})\end{array}$$

安定したシステムの場合、L_∞ ノルムは H_∞ ノルムと等価です。詳細については、hinfnorm (Robust Control Toolbox) を参照してください。不安定な極をもつシステムの場合、H_∞ ノルムは無限大です。すべてのシステムについて、norm は L_∞ ノルムを返します。これはシステムの安定性を無視したピーク ゲインです。

アルゴリズム

sys を状態空間モデルに変換した後、norm は H₂ ノルムに対する covar と同じアルゴリズムを使用します。L_∞ ノルムの場合、norm は[1]のアルゴリズムを使用します。norm は SLICOT ライブラリを使用してピーク ゲインを計算します。SLICOT ライブラリの詳細については、https://github.com/SLICOTを参照してください。

参照

[1] Bruinsma, N.A., and M. Steinbuch. "A Fast Algorithm to Compute the H_∞ Norm of a Transfer Function Matrix." Systems & Control Letters, 14, no.4 (April 1990): 287–93.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

freqresp | sigma | getPeakGain | hinfnorm (Robust Control Toolbox)