laplace

ラプラス変換

構文

F = laplace(f)

F = laplace(f,transVar)

F = laplace(f,var,transVar)

説明

F = laplace(f) は f のラプラス変換を返します。既定では、独立変数は t、変換変数は s です。

F = laplace(f,transVar) は、s の代わりに transVar を変換変数として使用します。

F = laplace(f,var,transVar) は、t と s の代わりに var と transVar をそれぞれ独立変数および変換変数として使用します。

例

シンボリック式のラプラス変換

1/sqrt(x) のラプラス変換を計算します。既定では、s に関して変換されます。

syms x y
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f)

F = 
$$\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s}}$$

独立変数および変換変数の指定

exp(-a*t) のラプラス変換を計算します。既定では、独立変数は t、変換変数は s です。

syms a t y
f = exp(-a*t);
F = laplace(f)

F = 
$$\frac{1}{a+s}$$

変換変数として y を指定します。関数を 1 つだけ指定した場合、その変数が変換変数になります。独立変数は t のままです。

F = laplace(f,y)

F = 
$$\frac{1}{a+y}$$

独立変数と変換変数を a と y として、第二、第三引数にそれぞれ指定します。

F = laplace(f,a,y)

F = 
$$\frac{1}{t+y}$$

ディラック関数およびヘヴィサイド関数のラプラス変換

ディラック関数およびヘヴィサイド関数のラプラス変換を計算します。

syms t s
syms a positive
F = laplace(dirac(t-a),t,s)

F = $${\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}s}$$

F = laplace(heaviside(t-a),t,s)

F = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}s}}{s}$$

関数のラプラス変換とその導関数の関係

関数の導関数のラプラス変換は、その関数自身のラプラス変換を使用して表せることを示します。

syms f(t) s
Df = diff(f(t),t);
F = laplace(Df,t,s)

F = $$s\hspace{0.17em}\mathrm{laplace}\left(f\left(t\right),t,s\right)-f\left(0\right)$$

配列入力のラプラス変換

行列 M のラプラス変換を求めます。同じサイズの行列を使用して、各行列エントリの独立変数と変換変数を指定します。引数が非スカラーである場合、laplace は各要素に適用されます。

syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) 1i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
F = laplace(M,vars,transVars)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{e}}^x}{a}& \frac{1}{b}\\ \frac{1}{c^2+1}& \frac{\mathrm{i}}{d^2}\end{array}\right)$$

laplace がスカラーと非スカラーの両方の引数で呼び出された場合、スカラー拡張を使用して非スカラーと一致するようスカラーを拡張します。非スカラー引数のサイズは同じでなければなりません。

F = laplace(x,vars,transVars)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{x}{a}& \frac{1}{b^2}\\ \frac{x}{c}& \frac{x}{d}\end{array}\right)$$

シンボリック関数のラプラス変換

シンボリック関数のラプラス変換を計算します。1 番目の引数がシンボリック関数を含む場合、2 番目の引数はスカラーでなければなりません。

syms f1(x) f2(x) a b
f1(x) = exp(x);
f2(x) = x;
F = laplace([f1 f2],x,[a b])

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a-1}& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)$$

ラプラス変換が求まらない場合

laplace が入力を変換できない場合は、未評価の呼び出しが返されます。

syms f(t) s
f(t) = 1/t;
F(s) = laplace(f,t,s)

F(s) = 
$$\mathrm{laplace}\left(\frac{1}{t},t,s\right)$$

ilaplace を使用して元の式を返します。

f(t) = ilaplace(F,s,t)

f(t) = 
$$\frac{1}{t}$$

入力引数

f — 入力

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

シンボリック式、シンボリック関数、シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列で指定される入力。

var — 独立変数

t (既定値) | シンボリック変数

独立変数。シンボリック変数として指定します。この変数は、多くの場合 "時間変数" または "空間変数" と呼ばれます。変数を指定しない場合、laplace は t を使用します。f が t を含まない場合、laplace は関数 symvar を使用して独立変数を決定します。

transVar — 変換変数

s (既定値) | z | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

変換変数。シンボリック変数、シンボリック式、シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として指定します。この変数は、多くの場合 "複素周波数変数" と呼ばれます。変数を指定しない場合、laplace は s を使用します。s が f の独立変数の場合、laplace は z を使用します。

詳細

ラプラス変換

変数 t の式 f(t) の点 s におけるラプラス変換 F(s) は、次で定義される片側変換になります。

$$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{0^{–}}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right)}{e}^{-st}dt.$$

ヒント

• いずれかの引数が配列である場合、laplace は配列の全要素について要素単位で動作します。

• 1 番目の引数がシンボリック関数を含む場合、2 番目の引数はスカラーでなければなりません。

• 逆ラプラス変換を計算するには、ilaplace を使用します。

アルゴリズム

ラプラス変換は片側変換として定義されます。この定義は、信号 f(t) がすべての実数 t ≥ 0 に対してのみ定義されており、t < 0 に対しては f(t) = 0 であることを前提としています。したがって、t < 0 に対して f(t) ≠ 0 である一般化信号について、f(t) のラプラス変換は f(t) をヘヴィサイド ステップ関数で乗算した場合と同じ結果になります。

たとえば、次の両コード ブロック

syms t;
laplace(sin(t))

さらに

syms t;
laplace(sin(t)*heaviside(t))

は、1/(s^2 + 1) を返します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

fourier | ifourier | ilaplace | iztrans | ztrans

トピック

• ラプラス変換を使用した RLC 回路の微分方程式の求解