ellipticE

R2026b

完全および不完全な第 2 種楕円積分

構文

y = ellipticE(m)

y = ellipticE(phi,m)

説明

y = ellipticE(m) は、第 2 種完全楕円積分を返します。

y = ellipticE(phi,m) は、第 2 種不完全楕円積分を返します。

例

第 2 種完全楕円積分を求める

以下の数値について第 2 種完全楕円積分を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

y = ellipticE([-10.5, -pi/4, 0, 1])

y = 1×4

    3.7096    1.8443    1.5708    1.0000

同じ数値をシンボリック オブジェクトに変換して第 2 種完全楕円積分を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、ellipticE は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

y = ellipticE([sym(-10.5), sym(-pi/4), sym(0), sym(1)])

y = 
$$\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(-\frac{21}{2}\right)& \mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(-\frac{\pi }{4}\right)& \frac{\pi }{2}& 1\end{array}\right)$$

vpaを使用して、この結果を浮動小数点数で近似します。

yVpa = vpa(y,10)

yVpa = $$\left(\begin{array}{cccc}3.70961391& 1.844349247& 1.570796327& 1.0\end{array}\right)$$

第 2 種楕円積分の微分

第 2 種楕円積分を含むこれらの式を微分します。ellipticK および ellipticF は、それぞれ第 1 種完全楕円積分と第 1 種不完全楕円積分を表します。

syms m
Dy1 = diff(ellipticE(pi/3,m),m)

Dy1 = 
$$\frac{\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(\frac{\pi }{3}|m\right)}{2\hspace{0.17em}m}-\frac{\mathrm{F}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticF">ellipticF</a>}\left(\frac{\pi }{3}|m\right)}{2\hspace{0.17em}m}$$

Dy2 = diff(ellipticE(m^2),m,2)

Dy2 = 
$$2\hspace{0.17em}m\hspace{0.17em}\left(\frac{\frac{\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(m^2\right)}{2\hspace{0.17em}{m}^2}-\frac{\mathrm{K}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticK">ellipticK</a>}\left(m^2\right)}{2\hspace{0.17em}{m}^2}}{m}-\frac{\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(m^2\right)}{m^3}+\frac{\mathrm{K}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticK">ellipticK</a>}\left(m^2\right)}{m^3}+\frac{\frac{\mathrm{K}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticK">ellipticK</a>}\left(m^2\right)}{m}+\frac{\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(m^2\right)}{m\hspace{0.17em}\left(m^2-1\right)}}{2\hspace{0.17em}{m}^2}\right)+\frac{\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(m^2\right)}{m^2}-\frac{\mathrm{K}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticK">ellipticK</a>}\left(m^2\right)}{m^2}$$

行列入力に対する楕円積分

このシンボリック行列に対して ellipticE を呼び出します。入力引数が行列である場合、ellipticE は各要素について第 2 種完全楕円積分を計算します。

y = ellipticE(sym([1/3 1; 1/2 0]))

y = 
$$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(\frac{1}{3}\right)& 1\\ \mathrm{E}\text{<a href="matlab:doc symbolic/ellipticE">ellipticE</a>}\left(\frac{1}{2}\right)& \frac{\pi }{2}\end{array}\right)$$

完全および不完全な第 2 種楕円積分のプロット

不完全楕円積分 ellipticE(phi,m) を phi = pi/4 と phi = pi/3 についてプロットします。また、完全楕円積分 ellipticE(m) もプロットします。

syms m
fplot([ellipticE(pi/4,m) ellipticE(pi/3,m) ellipticE(m)])

title('Elliptic integrals of the second kind')
legend('E(\pi/4|m)','E(\pi/3|m)','E(m)','Location','Best')
grid on

入力引数

m — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

phi — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

出力引数

y — 第 2 種楕円積分

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック配列 | シンボリック式

第 2 種楕円積分。数値、ベクトル、行列、配列、シンボリック数、シンボリック配列、またはシンボリック式として返されます。

詳細

第 2 種不完全楕円積分

第 2 種不完全楕円積分は、次のように定義されます。

$$E\left(\phi |m\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}d\theta$$

定義によってはパラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α が使用されることに注意してください。これらには、m = k² = sin²α という関係があります。

第 2 種完全楕円積分

第 2 種完全楕円積分は、次のように定義されます。

$$E\left(m\right)=E\left(\frac{\pi }{2}|m\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}d\theta$$

定義によってはパラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α が使用されることに注意してください。これらには、m = k² = sin²α という関係があります。

ヒント

• ellipticE は、シンボリック オブジェクトではない数値引数に対し浮動小数点の結果を返します。

• ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、ellipticE は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。vpa を使用して、結果を浮動小数点数で近似することができます。

• m がベクトルまたは行列である場合、ellipticE(m) は、m の各要素について評価された第 2 種完全楕円積分を返します。

• 少なくとも 1 つの入力引数はスカラーであるか、両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、ellipticE によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

• ellipticE(pi/2,m) = ellipticE(m).

代替方法

ellipke を使用して、第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を 1 回の関数呼び出しで計算することができます。

参照

[1] Milne-Thomson, L. M. “Elliptic Integrals.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2013a で導入

参考

ellipke | ellipticCE | ellipticCK | ellipticCPi | ellipticF | ellipticK | ellipticPi | vpa