ellipke

第 1 種と第 2 種の完全楕円積分

構文

[K,E] = ellipke(m)

説明

[K,E] = ellipke(m) は、第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を返します。

例

第 1 種と第 2 種の完全楕円積分の計算

以下の数値について第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[K0, E0] = ellipke(0)
[K05, E05] = ellipke(1/2)

K0 =
    1.5708

E0 =
    1.5708

K05 =
    1.8541

E05 =
    1.3506

同じ数値をシンボリック オブジェクトに変換して完全楕円積分を計算します。ほとんどのシンボリックな (正確な) 数値に対し、ellipke は関数 ellipticK と関数 ellipticE を使用して結果を返します。

[K0, E0] = ellipke(sym(0))
[K05, E05] = ellipke(sym(1/2))

K0 =
pi/2

E0 =
pi/2
 
K05 =
ellipticK(1/2)

E05 =
ellipticE(1/2)

vpa を使用して、K05 および E05 を浮動小数点数で近似します。

vpa([K05, E05], 10)

ans =
[ 1.854074677, 1.350643881]

入力が 0 と 1 の間にない場合の積分の計算

引数が 0 ～ 1 の範囲に該当しない場合は、ellipke を使用する前にその引数をシンボリック オブジェクトに変換します。

[K, E] = ellipke(sym(pi/2))

K =
ellipticK(pi/2)
 
E =
ellipticE(pi/2)

あるいは、ellipticK および ellipticE を使用して、第 1 種と第 2 種の積分を個別に計算します。

K = ellipticK(sym(pi/2))
E = ellipticE(sym(pi/2))

K =
ellipticK(pi/2)
 
E =
ellipticE(pi/2)

行列入力に対する積分の計算

このシンボリック行列に対して ellipke を呼び出します。入力引数が行列である場合、ellipke は各要素について第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を計算します。

[K, E] = ellipke(sym([-1 0; 1/2 1]))

K =
[  ellipticK(-1), pi/2]
[ ellipticK(1/2),  Inf]
 
E =
[  ellipticE(-1), pi/2]
[ ellipticE(1/2),    1]

入力引数

m — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

出力引数

K — 第 1 種完全楕円積分

シンボリック式

第 1 種完全楕円積分。シンボリック式として返されます。

E — 第 2 種完全楕円積分

シンボリック式

第 2 種完全楕円積分。シンボリック式として返されます。

詳細

第 1 種完全楕円積分

第 1 種完全楕円積分は、次のように定義されます。

$$K\left(m\right)=F\left(\frac{\pi }{2}|m\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}d}\theta$$

定義によってはパラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α が使用されることに注意してください。これらには、m = k² = sin²α という関係があります。

第 2 種完全楕円積分

第 2 種完全楕円積分は、次のように定義されます。

$$E\left(m\right)=E\left(\frac{\pi }{2}|m\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}d\theta$$

定義によってはパラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α が使用されることに注意してください。これらには、m = k² = sin²α という関係があります。

ヒント

• シンボリック オブジェクトではない数値について ellipke を呼び出すと、MATLAB^® 関数 ellipke が呼び出されます。この関数では、0 <= m <= 1 のみを受け入れます。この範囲外の値について第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を計算するには、sym を使用して数値をシンボリック オブジェクトに変換してから、それらのシンボリック オブジェクトに対し ellipke を呼び出します。あるいは、関数 ellipticK および関数 ellipticE を使用して、積分を個別に計算します。

• ほとんどのシンボリックな (正確な) 数値に対し、ellipke は関数 ellipticK と関数 ellipticE を使用して結果を返します。vpa を使用して、結果を浮動小数点数で近似することができます。

• m がベクトルまたは行列である場合、[K,E] = ellipke(m) は、m の各成分について評価された第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を返します。

代替方法

ellipticK および ellipticE を使用して、第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を個別に計算することができます。

参照

[1] Milne-Thomson, L. M. “Elliptic Integrals.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2013a で導入

参考

ellipke | ellipticE | ellipticK | vpa