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fitglm

一般化線形回帰モデルの作成

説明

mdl = fitglm(tbl) は、テーブルまたはデータセット配列 tbl の変数に一般化線形モデルの近似を返します。既定では、fitglm は最後の変数を応答変数として取ります。

mdl = fitglm(X,y) は、データ行列 X に応答 y の一般化線形モデルの近似を返します。

mdl = fitglm(___,modelspec) は、modelspec で指定したタイプの一般化線形モデルを返します。

mdl = fitglm(___,Name,Value) は、1 つまたは複数の Name,Value のペアの引数によって指定された追加オプションを使用して一般化線形モデルを返します。

たとえば、カテゴリカルである変数、応答変数の分布、使用するリンク関数を指定できます。

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2 次交互作用モデルを使用し、年齢、体重、性別を関数とする喫煙可能性の論理二項モデルを作成します。

データセット配列 hospital を読み込みます。

load hospital
dsa = hospital;

変数である年齢、体重、性別の間で最大 2 次の交互作用を許容する式を使用したモデルを指定します。喫煙者は応答変数です。

modelspec = 'Smoker ~ Age*Weight*Sex - Age:Weight:Sex';

論理二項モデルをあてはめます。

mdl = fitglm(dsa,modelspec,'Distribution','binomial')
mdl = 
Generalized linear regression model:
    logit(Smoker) ~ 1 + Sex*Age + Sex*Weight + Age*Weight
    Distribution = Binomial

Estimated Coefficients:
                        Estimate         SE         tStat      pValue 
                       ___________    _________    ________    _______

    (Intercept)            -6.0492       19.749     -0.3063    0.75938
    Sex_Male               -2.2859       12.424    -0.18399    0.85402
    Age                    0.11691      0.50977     0.22934    0.81861
    Weight                0.031109      0.15208     0.20455    0.83792
    Sex_Male:Age          0.020734      0.20681     0.10025    0.92014
    Sex_Male:Weight        0.01216     0.053168     0.22871     0.8191
    Age:Weight         -0.00071959    0.0038964    -0.18468    0.85348


100 observations, 93 error degrees of freedom
Dispersion: 1
Chi^2-statistic vs. constant model: 5.07, p-value = 0.535

すべての p 値 (pValue の) は大きな値です。つまり、有意な係数はありません。モデルの検定に対する大きい p 値 0.535 は、このモデルが定数モデルとは統計的に異なっていない可能性があることを示しています。

20 個の予測子で標本データを作成し、そのうちの 3 つのみの予測子と 1 つの定数を使ってポアソン応答を作成します。

rng('default') % for reproducibility
X = randn(100,7);
mu = exp(X(:,[1 3 6])*[.4;.2;.3] + 1);
y = poissrnd(mu);

ポアソン分布を使用して一般化線形モデルをあてはめます。

mdl =  fitglm(X,y,'linear','Distribution','poisson')
mdl = 
Generalized linear regression model:
    log(y) ~ 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
    Distribution = Poisson

Estimated Coefficients:
                   Estimate        SE        tStat        pValue  
                   _________    ________    ________    __________

    (Intercept)      0.88723    0.070969      12.502    7.3149e-36
    x1               0.44413    0.052337      8.4858    2.1416e-17
    x2             0.0083388    0.056527     0.14752       0.88272
    x3               0.21518    0.063416      3.3932    0.00069087
    x4             -0.058386    0.065503    -0.89135       0.37274
    x5             -0.060824    0.073441     -0.8282       0.40756
    x6               0.34267    0.056778      6.0352    1.5878e-09
    x7               0.04316     0.06146     0.70225       0.48252


100 observations, 92 error degrees of freedom
Dispersion: 1
Chi^2-statistic vs. constant model: 119, p-value = 1.55e-22

2.14e-17、0.00069 および 1.58e-09 という p 値は、変数 x1x3 および |x6| の係数が統計的に有意であることを示します。

入力引数

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入力データ。テーブルまたはデータセット配列として指定します。modelspec が式である場合、予測子変数と応答変数を指定します。それ以外の場合、予測子変数と応答変数を指定しないと、既定では、tbl 内の最後の変数が応答変数、その他の変数が予測子変数になります。

予測子変数と応答変数は、数値、logical、categorical、文字または string にすることができます。応答変数のデータ型を数値以外にすることができるのは、'Distribution''binomial' である場合だけです。

応答変数として異なる列を設定するには、名前と値のペア引数 ResponseVar を使用します。列のサブセットを予測子として使用するには、名前と値のペア引数 PredictorVars を使用します。

n 行 p 列の行列として指定される予測子変数。ここで、n は観測値の数、p は予測子変数の数です。X の各列が 1 つの変数を表し、各行が 1 つの観測値を表します。

既定では、明示的に削除しない限り、モデルには定数項があるので、1 の列を X に含めないでください。

データ型: single | double

n 行 1 列のベクトルとして指定される応答変数。ここで、n は観測値の数です。y の各エントリは X の対応する行に対する応答です。

データ型: single | double | logical | カテゴリカル

モデル仕様は stepwiseglm の開始モデルであり、以下のいずれかとして指定されます。

  • モデルを指定する文字ベクトルまたは string スカラー。

    モデル タイプ
    'constant'モデルは定数 (切片) 項だけを含みます。
    'linear'切片と各予測子の線形項がモデルに含まれます。
    'interactions'切片、各予測子の線形項、および異なる予測子のペアすべての積がモデルに含まれます (二乗項はありません)。
    'purequadratic'切片項と各予測子の線形項および二乗項がモデルに含まれます。
    'quadratic'切片項、各予測子の線形項、二乗項、および異なる予測子のペアすべての積がモデルに含まれます。
    'polyijk'モデルは多項式であり、1 番目の予測子における次数 i までのすべての項、2 番目の予測子における次数 j までのすべての項が含まれます。3 番目以降の項についても同様です。0 ~ 9 の数値を使用して、各予測子の最大次数を指定します。モデルには交互作用項が含まれますが、各交互作用項の次数は、指定された次数の最大値を超えません。たとえば、'poly13' には、切片、x1、x2、x22、x23、x1*x2 および x1*x22 の各項が含まれます。x1 および x2 はそれぞれ 1 番目および 2 番目の予測子です。
  • モデル内の項を指定する t 行 (p + 1) 列の行列、つまり項の行列。t は項の個数、p は予測子変数の個数であり、+ 1 は応答変数に相当します。項行列は、予測子の個数が多いときに項をプログラムで生成する場合に便利です。

  • 'Y ~ terms'

    という形式でを表す文字ベクトルまたは string スカラー。termsウィルキンソンの表記法で表されます。

例: 'quadratic'

名前と値のペアの引数

オプションの Name,Value 引数のコンマ区切りペアを指定します。Name は引数名で、Value は対応する値です。Name は引用符で囲まなければなりません。Name1,Value1,...,NameN,ValueN のように、複数の名前と値のペアの引数を、任意の順番で指定できます。

例: 'Distribution','normal','link','probit','Exclude',[23,59] は応答の分布が正規であることを指定し、プロビット リンク関数を使用して近似から 23 番目と 59 番目の観測値を除外するよう fitglm に指示します。

二項分布の試行回数、つまり標本サイズ。スカラー値または応答と同じ長さのベクトルで構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。これは近似した二項分布のための n パラメーターです。BinomialSize は、Distribution パラメーターが 'binomial' であるときにだけ適用されます。

BinomialSize がスカラー値の場合は、すべての観測が同じ試行回数であることを意味します。

BinomialSize の代替法として、列 1 にカウント、列 2 に BinomialSize をもつ 2 列ベクトルとして応答を指定できます。

データ型: single | double

カテゴリカル変数のリスト。'CategoricalVars' と、テーブルまたはデータセット配列 tbl 内のカテゴリカル変数名が含まれている文字ベクトルの cell 配列または string 配列、またはどの列がカテゴリカルであるかを示す論理インデックス ベクトルまたは数値インデックス ベクトルから構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

  • データがテーブルまたはデータセット配列 tbl に格納されている場合の既定では、fitglm はカテゴリカル値、論理値、文字配列、string 配列、および文字ベクトルの cell 配列をすべてカテゴリカル変数として扱います。

  • データが行列 X に格納されている場合、'CategoricalVars' の既定値は空の行列 [] です。つまり、カテゴリカルとして指定しない限り、カテゴリカルになる変数はありません。

たとえば、以下のいずれかの例を使用して、6 つの観測値のうち観測値 2 および 3 をカテゴリカルとして指定できます。

例: 'CategoricalVars',[2,3]

例: 'CategoricalVars',logical([0 1 1 0 0 0])

データ型: single | double | logical | string | cell

'binomial' および 'poisson' 分布の分散パラメーターを計算するインジケーター。'DispersionFlag' と以下のいずれかで構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

true標準誤差を計算するときに分散パラメーターを推定する
false既定の設定。標準誤差を計算するときに理論値を使用する

近似関数は常に他の分布の分散を予測します。

例: 'DispersionFlag',true

応答変数の分布。'Distribution' と以下のいずれかで構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

'normal'正規分布
'binomial'二項分布
'poisson'ポアソン分布
'gamma'ガンマ分布
'inverse gaussian'逆ガウス分布

例: 'Distribution','gamma'

近似から除外する観測値。'Exclude' と、近似から除外する観測値を示す論理インデックス ベクトルまたは数値インデックス ベクトルで構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

たとえば、以下のいずれかの例を使用して、6 つの観測値のうち観測値 2 および 3 を除外できます。

例: 'Exclude',[2,3]

例: 'Exclude',logical([0 1 1 0 0 0])

データ型: single | double | logical

あてはめにおける定数項 (切片) のインジケーター。'Intercept' と、モデルに定数項を含める true またはモデルから定数項を削除する false で構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

式または行列ではなく文字ベクトルまたは string スカラーを使用してモデルを指定する場合のみ、'Intercept' を使用します。

例: 'Intercept',false

近似のオフセット変数。'Offset' と、応答と同じ長さの変数のベクトルまたは名前で構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

fitglm は、係数値を 1.0 で固定した追加の予測子として Offset を使用します。つまり、近似の式は次のようになります

f(μ) ~ Offset + (terms involving real predictors)

係数 1 をもつ Offset 予測子付き。

たとえば、ポアソン回帰モデルを検討してください。カウントの数が理論上の理由により予測子 A に対して比例していることがわかっていると仮定します。log リンク関数を使用し、オフセットに log(A) を指定することにより、この理論上の制約を満たすことをモデルに強制できます。

データ型: single | double | char | string

あてはめで使用する予測子変数。'PredictorVars' と、テーブルまたはデータセット配列 tbl に格納されている変数の名前を表す文字ベクトルの cell 配列または string 配列、またはどの列が予測子変数であるかを示す論理インデックス ベクトルまたは数値インデックス ベクトルから構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

string 値または文字ベクトルは、tbl に含まれている名前、または名前と値のペアの引数 'VarNames' を使用して指定した名前でなければなりません。

既定の設定は、X 内のすべての変数、または ResponseVar を除く、tbl 内のすべての変数です。

たとえば、以下のいずれかの例を使用して、2 番目と 3 番目の変数を予測子変数として指定できます。

例: 'PredictorVars',[2,3]

例: 'PredictorVars',logical([0 1 1 0 0 0])

データ型: single | double | logical | string | cell

あてはめで使用する応答変数。'ResponseVar' と、テーブルまたはデータセット配列 tbl 内の変数名が格納されている文字ベクトルまたは string 配列、またはどの列が応答変数であるかを示す論理インデックス ベクトルまたは数値インデックス ベクトルから構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。通常、テーブルまたはデータセット配列 tbl を近似させる場合に 'ResponseVar' を使用する必要があります。

たとえば、以下のいずれかの方法を使用して、6 つの変数のうち 4 番目の変数、つまり yield を応答変数として指定できます。

例: 'ResponseVar','yield'

例: 'ResponseVar',[4]

例: 'ResponseVar',logical([0 0 0 1 0 0])

データ型: single | double | logical | char | string

変数の名前。'VarNames' と、X の列名が最初に、応答変数 y の名前が最後に含まれている文字ベクトルの cell 配列または string 配列から構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

テーブルまたはデータセット配列の変数には既に名前が設定されているため、'VarNames' はこれらの配列には適用されません。

たとえば、データ内で、自動車の馬力、加速度、モデル年度が予測子変数であり、ガロンあたりの走行マイル数 (MPG) が応答変数である場合は、以下のように変数に名前を付けることができます。

例: 'VarNames',{'Horsepower','Acceleration','Model_Year','MPG'}

データ型: string | cell

観測値の重み。'Weights' と、非負のスカラー値の n 行 1 列のベクトル (n は観測値の数) で構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。

データ型: single | double

出力引数

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データに対する応答のリンクの最小二乗近似を表す一般化線形モデル。GeneralizedLinearModel オブジェクトとして返されます。

一般化線形モデル オブジェクト mdl のプロパティとメソッドについては、GeneralizedLinearModel クラスのページを参照してください。

詳細

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項の行列

項行列T は、モデル内の項を指定する t 行 (p + 1) 列の行列です。t は項の個数、p は予測子変数の個数であり、+ 1 は応答変数に相当します。T(i,j) の値は、項 i の変数 j の指数です。

たとえば、3つの予測子変数 ABC と応答変数 YABCY という順序で入力に含まれていると仮定します。T の各行は 1 つの項を表します。

  • [0 0 0 0] — 定数項 (切片)

  • [0 1 0 0]B (A^0 * B^1 * C^0 と等価)

  • [1 0 1 0]A*C

  • [2 0 0 0]A^2

  • [0 1 2 0]B*(C^2)

各項の最後の 0 は、応答変数を表します。一般に、項行列内のゼロの列ベクトルは、応答変数の位置を表します。行列と列ベクトルに予測子と応答変数がある場合、各行の最後の列に応答変数を示す 0 を含めなければなりません。

モデル仕様の式は 'Y ~ terms' という形式の文字ベクトルまたは string スカラーです。

  • Y は応答名です。

  • terms は、ウィルキンソンの表記法を使用してモデル内の予測子の項を表します。

以下に例を示します。

  • 'Y ~ A + B + C' は、切片がある 3 変数の線形モデルを指定します。

  • 'Y ~ A + B + C – 1' は、切片がない 3 変数の線形モデルを指定します。既定では式に定数 (切片) 項が含まれることに注意してください。モデルから定数項を除外するには、–1 を式に含めなければなりません。

ウィルキンソンの表記法

ウィルキンソンの表記法は、モデルに存在する項を記述します。この表記法は、モデルに存在する項に関係するものであり、それらの項の乗数 (係数) に関係するものではありません。

ウィルキンソンの表記法では、以下の記号を使用します。

  • + は、次の変数を含むことを意味します。

  • は、次の変数を含まないことを意味します。

  • : は、項の積である交互作用を定義します。

  • * は、交互作用と、より低い次数の項すべてを定義します。

  • ^ は、* を繰り返した場合とまったく同じ方法で予測子をべき乗にします。このため、^ には、より低い次数の項も含まれます。

  • () は、項をグループ化します。

次の表に、ウィルキンソンの表記法の代表的な例を示します。

ウィルキンソンの表記法標準表記の項
1定数 (切片) 項
A^kk は正の整数AA2、...、Ak
A + BAB
A*BABA*B
A:BA*B のみ
–BB は含めない
A*B + CABCA*B
A + B + C + A:BABCA*B
A*B*C – A:B:CABCA*BA*CB*C
A*(B + C)ABCA*BA*C

Statistics and Machine Learning Toolbox™ 表記は、–1 を使用して項を明示的に削除しない限り、常に定数項を含みます。

詳細は、ウィルキンソンの表記法を参照してください。

正準リンク関数

一般化線形モデルの既定のリンク関数は、"正準リンク関数" です。

一般化線形モデル用の正準リンク関数

分布リンク関数名リンク関数平均 (逆) 関数
'normal''identity'f(μ) = μμ = Xb
'binomial''logit'f(μ) = log(μ/(1–μ))μ = exp(Xb) / (1 + exp(Xb))
'poisson''log'f(μ) = log(μ)μ = exp(Xb)
'gamma'-1f(μ) = 1/μμ = 1/(Xb)
'inverse gaussian'-2f(μ) = 1/μ2μ = (Xb)–1/2

ヒント

  • 正則化された線形モデル mdl は、別途 Distribution 名前と値のペアで指定しない限り、標準線形モデルです。

  • plotResiduals または devianceTest などのメソッドや、GeneralizedLinearModel オブジェクトのプロパティについては、GeneralizedLinearModel を参照してください。

  • モデルに学習をさせた後で、新しいデータについて応答を予測する C/C++ コードを生成できます。C/C++ コードの生成には MATLAB® Coder™ が必要です。詳細については、コード生成の紹介を参照してください。

アルゴリズム

  • fitglm では、カテゴリカル予測子が次のように扱われます。

    • L 個のレベル (カテゴリ) があるカテゴリカル予測子をもつモデルには、L – 1 個の予測子変数が含まれています。1 番目のカテゴリが基準レベルとして使用されるので、基準レベルに対する指標変数はモデルに含まれません。カテゴリカル予測子のデータ型が categorical である場合、categories を使用してカテゴリの順序をチェックし、reordercats を使用してカテゴリを並べ替えることにより、基準レベルをカスタマイズできます。

    • fitglm は、L – 1 個の指標変数のグループを単一の変数として扱います。指標変数を個別の予測子変数として扱うには、dummyvar を使用して指標変数を手動で作成します。そして、モデルをあてはめるときに、カテゴリカル変数の基準レベルに対応するものを除く指標変数を使用します。カテゴリカル予測子 X について dummyvar(X) のすべての列と切片項を予測子として指定した場合、計画行列はランク落ちとなります。

    • L 個のレベルをもつカテゴリカル予測子と連続予測子の間の交互作用項は、L – 1 個の指標変数と連続予測子の要素単位の積から構成されます。

    • L 個のレベルをもつカテゴリカル予測子と M 個のレベルをもつカテゴリカル予測子の間の交互作用項は、2 つのカテゴリカル予測子のレベルについて可能なすべての組み合わせを含めるため、(L – 1)*(M – 1) 個の指標変数から構成されます。

    • 指標の二乗はそれ自体に等しいので、より次数が高い項をカテゴリカル予測子に対して指定することはできません。

  • fitglm は、tblX および Y に含まれている NaN'' (空の文字ベクトル)、"" (空の string)、<missing>、および <undefined> 値を欠損値と見なします。fitglm は、欠損値がある観測値をあてはめで使用しません。あてはめたモデルの ObservationInfo プロパティは、fitglm が各観測値をあてはめで使用したかどうかを示します。

代替機能

  • モデル仕様を自動的に選択するには、stepwiseglm を使用します。stepaddTerms または removeTerms を使用して近似モデルを調整します。

参照

[1] Collett, D. Modeling Binary Data. New York: Chapman & Hall, 2002.

[2] Dobson, A. J. An Introduction to Generalized Linear Models. New York: Chapman & Hall, 1990.

[3] McCullagh, P., and J. A. Nelder. Generalized Linear Models. New York: Chapman & Hall, 1990.

拡張機能

R2013b で導入