PID コントローラーに対するバリア証明書の制約の適用

この例では、Barrier Certificate Enforcement ブロックを使用して PID コントローラー アプリケーションに対するバリア証明書の制約を適用する方法を示します。

概要

この例では、プラント ダイナミクスは次の方程式 [1] で記述されます。

$${\dot{\mathit{x}}}_1=-{\mathit{x}}_1+\left({\mathit{x}}_1^2+1\right){\mathit{u}}_1$$

$${\dot{\mathit{x}}}_2=-{\mathit{x}}_2+\left({\mathit{x}}_2^2+1\right){\mathit{u}}_2$$

プラントの目標は、次のように定義された望ましい軌跡を追従することです。

$$\dot{\theta }=0.1\pi$$

$${\dot{\mathit{x}}}_{1\mathit{d}}=-\mathit{r}\cos \left(\theta \right)$$

$${\dot{\mathit{x}}}_{2\mathit{d}}=\mathit{r}\sin \left(\theta \right)$$

同じ PID 制御アプリケーションに予測された制約関数を適用する例については、PID コントローラーに対する制約の適用を参照してください。

モデル パラメーターと初期状態を設定します。

r = 1.5;   % Radius for desired trajectory
Ts = 0.1;  % Sample time
Tf = 22;   % Duration
x0_1 = -r; % Initial condition for x1
x0_2 = 0;  % Initial condition for x2

PID コントローラーの設計

制約を適用する前に、基準軌跡を追従するための PID コントローラーを設計します。barrierCertificatePID モデルには、調整されたゲインをもつ 2 つの PID コントローラーが含まれています。Simulink® モデルにおける PID コントローラーの調整の詳細については、Simulink でのモデルベースの PID 調整の紹介を参照してください。

Simulink モデルを開きます。

constrained = 0; % Disable barrier certificate constraint enforcement
mdl = 'barrierCertificatePID';
open_system(mdl)

PID コントローラーをシミュレートし、追従性能をプロットします。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{3}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('Desired','Trajectory','Start','End','Location','best')

バリア証明書

この例では、同じプラント モデルと PID コントローラーに対してバリア証明書の制約を適用します。

プラントの実行可能領域は、$\left\{\mathit{x}:{\mathit{x}}_1\le 1,{\mathit{x}}_2\le 1\right\}$ で求められます。したがって、バリア証明書は $\mathit{h}\left(\mathit{x}\right)=\left[\begin{array}{c}1-{\mathit{x}}_1\\ 1-{\mathit{x}}_2\end{array}\right]\ge 0$ によって求められます。

$\mathit{x}$ に対する $\mathit{h}\left(\mathit{x}\right)$ の偏導関数は $\mathit{q}\left(\mathit{x}\right)=$$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ によって求められます。

Barrier Certificate Enforcement ブロックは形式 $\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)+\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)\mathit{u}$ のプラント ダイナミクスを受け入れます。このアプリケーションの場合、$\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=\left[\begin{array}{c}-{\mathit{x}}_1\\ -{\mathit{x}}_2\end{array}\right]$ および $\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{x}}_1^2+1& 0\\ 0& {\mathit{x}}_2^2+1\end{array}\right]$ となります。

バリア証明書の制約を使用した PID コントローラーのシミュレーション

制約の実装を表示するには、Constraint、Constrained サブシステムを開きます。

バリア証明書の制約の適用を有効にします。

constrained = 1;

モデルを実行し、シミュレーション結果をプロットします。このプロットから、プラントの状態が 1 より小さいことがわかります。

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{3}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('Desired','Trajectory','Start','End','Location','best')

Barrier Certificate Enforcement ブロックによって、プラント状態が 1 より小さい状態を維持するように、正常に制御動作が制約されています。

モデルを閉じます。

bdclose(mdl)

参考文献

[1] Robey, Alexander, Haimin Hu, Lars Lindemann, Hanwen Zhang, Dimos V. Dimarogonas, Stephen Tu, and Nikolai Matni. "Learning Control Barrier Functions from Expert Demonstrations." Preprint, submitted April 7, 2020. https://arxiv.org/abs/2004.03315

参考

Barrier Certificate Enforcement

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