lsqlin

制約付き線形最小二乗問題を解く

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構文

x = lsqlin(C,d,A,b)

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = lsqlin(problem)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(___)

[wsout,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

説明

範囲制約と線形制約をもつ線形最小二乗法問題のソルバー。

以下の形式の最小二乗曲線近似問題を解きます。

$\min_{x} \frac{1}{2} {‖ C \cdot x - d ‖}_{2}^{2} such that {\begin{matrix} A \cdot x \leq b, \\ A e q \cdot x = b e q, \\ l b \leq x \leq u b . \end{matrix}$

メモ

lsqlin は、ソルバーベースのアプローチのみに適用されます。2 つの最適化アプローチの詳細については、はじめに問題ベースアプローチまたはソルバーベースアプローチを選択を参照してください。

x = lsqlin(C,d,A,b) は、A*x ≤ b の制約の下で線形システム C*x = d を最小二乗法的に解きます。

例

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) は、線形等式制約 Aeq*x = beq と範囲 lb ≤ x ≤ ub を追加します。Aeq や beq など特定の制約が必要でない場合、これらを [] に設定します。x(i) の下に非有界の場合は lb(i) = -Inf を設定してください。x(i) の上に非有界の場合は ub(i) = Inf を設定してください。

例

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) は、初期点 x0 および options で指定された最適化オプションを使用して最小化を行います。optimoptions を使用してこれらのオプションを設定してください。初期点を含めない場合は引数 x0 を [] に設定します。ただし、'active-set' アルゴリズムには空でない x0 が必要です。

例

x = lsqlin(problem) は、problem で説明されている構造体 problem の最小値を求めます。ドット表記または struct 関数を使用して problem 構造体を作成します。または、prob2struct を使用して OptimizationProblem オブジェクトから構造体 problem を作成します。

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(___) は、前述のすべての入力引数に対して次を返します。

残差の 2 乗ノルム resnorm = ${‖ C \cdot x - d ‖}_{2}^{2}$
残差 residual = C*x - d
終了条件を指定する値 exitflag
最適化プロセスに関する情報を含む構造体 output
ラグランジュ乗数を含む構造体 lambda
問題の定義の因子 ½ は、lambda 構造体の値に影響します。

例

[wsout,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws) は、ws のオプションを使用し、ウォームスタートオブジェクト ws の中のデータから lsqlin を起動します。返された引数 wsout は、wsout.X の解点を含みます。この後のソルバーの呼び出しで、最初のウォームスタートオブジェクトとして wsout を使用することにより、lsqlin の動作は速くなります。

例

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線形不等式制約付きの最小二乗法

ライブスクリプトを開く

線形不等式制約のある過決定問題について、C*x - d のノルムを最小化する x を求めます。

問題と制約を指定します。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];

lsqlin を呼び出してこの問題を解きます。

x = lsqlin(C,d,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

線形制約と範囲指定付きの最小二乗法

ライブスクリプトを開く

線形等式制約と線形不等式制約および範囲指定のある過決定問題について、C*x - d のノルムを最小化する x を求めます。

問題と制約を指定します。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A =[0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b =[0.5251
    0.2026
    0.6721];
Aeq = [3 5 7 9];
beq = 4;
lb = -0.1*ones(4,1);
ub = 2*ones(4,1);

lsqlin を呼び出してこの問題を解きます。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

既定以外のオプションを使った線形最小二乗

ライブスクリプトを開く

この例では、線形最小二乗法に対して既定ではないオプションを使用する方法を説明します。

'interior-point' アルゴリズムを使用し、反復表示を提供するようにオプションを設定します。

options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','interior-point','Display','iter');

線形最小二乗問題を設定します。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];

問題を実行します。

x = lsqlin(C,d,A,b,[],[],[],[],[],options)

 Iter         Resnorm  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    6.545534e-01   1.600492e+00   6.150431e-01     1.000000e+00  
    1    6.545534e-01   8.002458e-04   3.075216e-04     2.430833e-01  
    2    1.757343e-01   4.001229e-07   1.537608e-07     5.945636e-02  
    3    5.619277e-02   2.000615e-10   2.036997e-08     1.370933e-02  
    4    2.587604e-02   1.000589e-13   1.006816e-08     2.548273e-03  
    5    1.868939e-02   2.775558e-17   2.955102e-09     4.295807e-04  
    6    1.764630e-02   0.000000e+00   1.237758e-09     3.102850e-05  
    7    1.758561e-02   2.775558e-17   1.645863e-10     1.138719e-07  
    8    1.758538e-02   0.000000e+00   2.400302e-13     5.693290e-11  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

すべての出力を返す

ライブスクリプトを開く

lsqlin のすべての出力を取得して解釈します。

線形不等式制約と範囲指定のある問題を定義します。行列 C は 4 つの列をもちますが、行が 5 つあるので過決定問題となります。これは、問題に線形制約と範囲指定を含める以前に、4 つの未知数と 5 つの条件があることを意味します。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];
lb = -0.1*ones(4,1);
ub = 2*ones(4,1);

'interior-point' アルゴリズムを使用するためのオプションを設定します。

options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','interior-point');

'interior-point' アルゴリズムは初期点を使用しないので、x0 は [] に設定します。

x0 = [];

すべての出力をもつ lsqlin を呼び出します。

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = ...
    lsqlin(C,d,A,b,[],[],lb,ub,x0,options)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

resnorm = 0.1672

residual = 5×1

    0.0455
    0.0764
   -0.3562
    0.1620
    0.0784

exitflag = 1

output = struct with fields:
            message: 'Minimum found that satisfies the constraints....'
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 4.3374e-11
    constrviolation: 0
         iterations: 6
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

lambda = struct with fields:
    ineqlin: [3x1 double]
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [4x1 double]
      upper: [4x1 double]

ゼロでないラグランジュ乗数フィールドを詳しく検査します。まず、線形不等式制約のラグランジュ乗数を確認します。

lambda.ineqlin

ラグランジュ乗数は、解が対応する制約の境界上にある場合のみ、ゼロ以外の値を取ります。言い換えれば、対応する制約がアクティブなときはラグランジュ乗数が非ゼロとなります。lambda.ineqlin(2) は非ゼロです。したがって、制約がアクティブであるため、A*x の第 2 要素が b の第 2 要素に等しいことを意味します。

[A(2,:)*x,b(2)]

ans = 1×2

    0.2026    0.2026

次に、範囲制約の下限と上限のラグランジュ乗数を確認します。

lambda.lower

lambda.upper

lambda.lower の最初の 2 つの要素は非ゼロです。x(1) と x(2) の値はその下限 -0.1 になっているのがわかります。基本的に lambda.upper の全要素がゼロであり、x の要素はすべてその上限である 2 より低いことがわかります。

ウォームスタートオブジェクトを返す

変更した問題を迅速に解くためのウォームスタートオブジェクトを作成します。ウォームスタートをサポートするために、反復表示をオフにするオプションを設定します。

rng default % For reproducibility
options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','active-set','Display','off');
n = 15;
x0 = 5*rand(n,1);
ws = optimwarmstart(x0,options);

最初の問題を作成し、解きます。求解時間を確認します。

r = 1:n-1; % Index for making vectors
v(n) = (-1)^(n+1)/n; % Allocating the vector v
v(r) =( -1).^(r+1)./r;
C = gallery('circul',v);
C = [C;C];
r = 1:2*n;
d(r) = n-r;
lb = -5*ones(1,n);
ub = 5*ones(1,n);
tic
[ws,fval,~,exitflag,output] = lsqlin(C,d,[],[],[],[],lb,ub,ws)
toc

Elapsed time is 0.005117 seconds.

線形制約を追加してもう一度問題を解きます。

A = ones(1,n);
b = -10;
tic
[ws,fval,~,exitflag,output] = lsqlin(C,d,A,b,[],[],lb,ub,ws)
toc

Elapsed time is 0.001491 seconds.

入力引数

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`C` — 乗数行列
実数行列

乗数行列は double の行列として指定されます。C は、式 C*x - d における解 x の乗数を表します。C は M 行 N 列で、M は方程式の数、N は x の要素数です。

例: C = [1,4;2,5;7,8]

データ型: double

`d` — 定数ベクトル
実数ベクトル

定数ベクトルは double のベクトルとして指定されます。d は、式 C*x - d 内の加法定数項を表します。d は M 行 1 列で、M は方程式の数です。

例: d = [5;0;-12]

データ型: double

`A` — 線形不等式制約
実数行列

実数行列として指定される線形不等式制約です。A は M 行 N 列の行列で、M は不等式の数、N は変数の数 (x0 の要素数) です。大規模な問題の場合は、A をスパース行列として渡します。

A は M 個の線形不等式を符号化します。

A*x <= b,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、b は M 個の要素をもつ列ベクトルです。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30,

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

例: x の成分の和が 1 以下であることを指定するには、A = ones(1,N) と b = 1 を使用します。

データ型: double

`b` — 線形不等式制約
実数ベクトル

実数ベクトルで指定される線形不等式制約です。b は、行列 A に関連する M 要素ベクトルです。b を行ベクトルとして渡す場合、ソルバーは b を列ベクトル b(:) に内部的に変換します。大規模な問題の場合は、b をスパースベクトルとして渡します。

b は M 個の線形不等式を符号化します。

A*x <= b,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、A は M 行 N 列の行列です。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30.

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

例: x の成分の和が 1 以下であることを指定するには、A = ones(1,N) と b = 1 を使用します。

データ型: double

`Aeq` — 線形等式制約
実数行列

実数行列として指定される線形等式制約です。Aeq は Me 行 N 列の行列で、Me は等式の数、N は変数の数 (x0 の要素数) です。大規模な問題の場合は、Aeq をスパース行列として渡します。

Aeq は Me 個の線形等式を符号化します。

Aeq*x = beq,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、beq は Me 個の要素をもつ列ベクトルです。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20,

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

例: x の成分の和が 1 であることを指定するには、Aeq = ones(1,N) と beq = 1 を使用します。

データ型: double

`beq` — 線形等式制約
実数ベクトル

実数ベクトルで指定される線形等式制約です。beq は、行列 Aeq に関連する Me 要素ベクトルです。beq を行ベクトルとして渡す場合、ソルバーは beq を列ベクトル beq(:) に内部的に変換します。大規模な問題の場合は、beq をスパースベクトルとして渡します。

beq は Me 個の線形等式を符号化します。

Aeq*x = beq,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、Aeq は Me 行 N 列の行列です。

たとえば、次の等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20.

次の制約を入力することによって、等式を指定します。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

例: x の成分の和が 1 であることを指定するには、Aeq = ones(1,N) と beq = 1 を使用します。

データ型: double

`lb` — 下限
`[]` (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

下限。double 型のベクトルまたは配列として指定します。lb は lb ≤ x ≤ ub の要素ごとの下限を表します。

lsqlin は配列 lb をベクトル lb(:) に内部的に変換します。

例: lb = [0;-Inf;4] は x(1) ≥ 0, x(3) ≥ 4 を意味します。

データ型: double

`ub` — 上限
`[]` (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

上限。double 型のベクトルまたは配列として指定します。ub は lb ≤ x ≤ ub の要素ごとの上限を表します。

lsqlin は配列 ub をベクトル ub(:) に内部的に変換します。

例: ub = [Inf;4;10] は x(2) ≤ 4, x(3) ≤ 10 を意味します。

データ型: double

`x0` — 初期点
`zeros(M,1)` (`M` は方程式の数) (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

解法プロセスの初期点。実数ベクトルまたは配列として指定します。

'interior-point' アルゴリズムでは x0 は使用されません。
x0 は 'trust-region-reflective' アルゴリズムではオプションの引数です。既定では、このアルゴリズムは x0 をすべてがゼロのベクトルに設定します。これらの要素のいずれかが範囲制約に違反すると、lsqlin は既定の x0 全体を、範囲を満たすベクトルにリセットします。既定ではない x0 のいずれかの要素が範囲に違反すると、lsqlin は、範囲を満たすようにこれらの要素を設定します。
空でない x0 は 'active-set' アルゴリズムに必須の引数です。x0 のいずれかの要素が範囲に違反すると、lsqlin は、範囲を満たすようにこれらの要素を設定します。

例: x0 = [4;-3]

データ型: double

`options` — `lsqlin` のオプション
`optimoptions` を使用して作成されたオプション | `optimset` などによって作成された構造体

optimoptions 関数の出力としてまたは optimset などによって作成された構造体として指定された lsqlin 用のオプション。

一部のオプションは、optimoptions に表示されません。このようなオプションは、次の表ではイタリックで示されています。詳細については、最適化オプションの表示を参照してください。

すべてのアルゴリズム

`Algorithm`	アルゴリズムを選択します。 `'interior-point'` (既定の設定) `'trust-region-reflective'` `'active-set'` `'trust-region-reflective'` アルゴリズムは上限と下限のみを許可します。線形不等式や線形等式は必要ありません。`'trust-region-reflective'` アルゴリズムと線形制約の両方を指定した場合、`lsqlin` は `'interior-point'` アルゴリズムを使用します。 `'trust-region-reflective'` アルゴリズムは上限と下限を同じ値に設定できません。問題に制約がない場合、`lsqlin` は内部的に `mldivide` を呼び出します。多数の線形制約があるものの変数の数は多くない場合は、`'active-set'` アルゴリズムを試してください。アルゴリズムの選択の詳細については、アルゴリズムの選択を参照してください。
Diagnostics	最小化または計算する関数に関する情報を表示します。選択肢は `'on'` または `'off'` (既定の設定) です。
`Display`	コマンドラインに返される表示のレベル。 `'off'` または `'none'` — 出力を表示しない。 `'final'` (既定の設定) — 最終出力のみを表示する。 `'interior-point'` アルゴリズムおよび `'active-set'` アルゴリズムでは次の値も指定できます。 `'iter'` — 各反復の出力を表示する。 `'iter-detailed'` — 各反復の出力を表示し、詳細な終了メッセージを与える。 `'final-detailed'` — 最終出力のみを表示し、詳細な終了メッセージを与える。
`MaxIterations`	反復の最大許容回数 (非負の整数)。既定の値は `'active-set'` アルゴリズムでは `2000`、他のアルゴリズムでは `200` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `MaxIter` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。

trust-region-reflective アルゴリズムのオプション

`FunctionTolerance`	関数値に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は `100*eps`、約 `2.2204e-14` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolFun` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
`JacobianMultiplyFcn`	ヤコビ乗算関数。関数ハンドルとして指定されます。大規模構造化問題に対して、この関数は実際に `C` を計算しないで、ヤコビ行列乗算 `CY`、`C'Y`、`C'(CY)` のいずれかを計算します。以下の形式で関数を記述します。 W = jmfun(Jinfo,Y,flag) ここで、`Jinfo` は `CY` (または `C'Y` か `C'(CY)`) の計算に使用される行列を含んでいます。 `jmfun` は、`lsqlin` が渡す `flag` の値によって、3 種類の乗算のうち、1 つを計算しなければなりません。 `flag == 0` の場合、`W = C'(CY)` です。 `flag > 0` の場合、`W = CY` です。 `flag < 0` の場合、`W = C'Y` です。どの場合でも `jmfun` は `C` の形式を陽的に必要としません。`lsqlin` は `Jinfo` を使用して前提条件子を計算します。必要に応じて余分なパラメーターを与える方法については追加パラメーターの受け渡しを参照してください。例については、線形最小二乗付きヤコビ乗算関数を参照してください。 `optimset` の場合、オプションの名前は `JacobMult` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
MaxPCGIter	PCG (前処理付き共役勾配) 法の反復の最大回数です (正のスカラー)。既定値は `max(1,floor(numberOfVariables/2))` です。詳細については、信頼領域 Reflective 法アルゴリズムを参照してください。
`OptimalityTolerance`	1 次の最適性に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は `100*eps`、約 `2.2204e-14` です。詳細については、1 次の最適性の尺度を参照してください。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolFun` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
PrecondBandWidth	PCG (前処理付き共役勾配法) における前提条件子の帯域幅の上限。既定では、対角型の前提条件を使用します (帯域幅の上限 0)。一部の問題では、帯域幅を上げることで、PCG 法の反復回数を減らします。`PrecondBandWidth` を `Inf` に設定すると、共役勾配 (CG) ではなく、直接因子分解 (コレスキー因子) が使用されます。直接因子分解では CG より計算量が増加しますが、解を求めるためのステップの質が向上します。詳細については、信頼領域 Reflective 法アルゴリズムを参照してください。
`SubproblemAlgorithm`	反復ステップの計算方法を定義します。既定の設定である `'cg'` のステップは `'factorization'` より高速ですが、精度の点で劣ります。詳細については、信頼領域 Reflective 法の最小二乗を参照してください。
TolPCG	PCG (前処理付き共役勾配法) 反復に関する終了許容誤差 (正のスカラー)。既定値は `0.1` です。
`TypicalX`	典型的な `x` の値です。`TypicalX` の要素数は、変数の数と等しくなります。既定値は `ones(numberofvariables,1)` です。`lsqlin` はスケーリング用に `TypicalX` を内部的に使用します。`TypicalX` は、`x` が非有界の成分をもつ場合や、非有界の成分 `TypicalX` 値が `1` より大きい場合にのみ有効です。

interior-point アルゴリズムのオプション

`ConstraintTolerance`	制約違反に関する許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は `1e-8` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolCon` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
`LinearSolver`	アルゴリズムの内部的な線形ソルバーのタイプ `'auto'` (既定) — 行列 `C` がスパースである場合は `'sparse'`、そうでない場合は `'dense'` を使用。 `'sparse'` — スパースな線形代数を使用。詳細については、スパース行列を参照してください。 `'dense'` — 密な線形代数を使用。
`OptimalityTolerance`	1 次の最適性に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は `1e-8` です。詳細については、1 次の最適性の尺度を参照してください。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolFun` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
`StepTolerance`	`x` に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は `1e-12` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolX` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。

'active-set' アルゴリズムのオプション

`ConstraintTolerance`	制約違反に関する許容誤差 (正のスカラー)。既定値は `1e-8` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolCon` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
`ObjectiveLimit`	スカラーの許容誤差 (停止条件) です。目的関数値が `ObjectiveLimit` を下回り、現在の点が実行可能な場合、問題が非有界であると推定されるため、その反復は中止されます。既定値は `-1e20` です。
`OptimalityTolerance`	1 次の最適性に関する終了許容誤差 (正のスカラー)。既定値は `1e-8` です。詳細については、1 次の最適性の尺度を参照してください。 `optimset` の場合、名前は `TolFun` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。
`StepTolerance`	`x` に関する許容誤差 (正のスカラー)。既定値は `1e-8` です。 `optimset` の場合、オプションの名前は `TolX` です。詳細については、新旧のオプション名を参照してください。

`problem` — 最適化問題
構造体

最適化問題は、次のフィールドを含む構造体として指定されます。

`C`	行列乗数 (項 `C*x - d`)
`d`	加法定数 (項 `C*x - d`)
`Aineq`	線形不等式制約の行列
`bineq`	線形不等式制約のベクトル
`Aeq`	線形等式制約の行列
`beq`	線形等式制約のベクトル
`lb`	下限のベクトル
`ub`	上限のベクトル
`x0`	`x` の初期点
`solver`	`'lsqlin'`
`options`	`optimoptions` で作成されたオプション

メモ

引数 problem とウォームスタートを一緒に使用することはできません。

データ型: struct

`ws` — ウォームスタートオブジェクト
`optimwarmstart` を使用して作成されたオブジェクト

ウォームスタートオブジェクト。optimwarmstart で作成したオブジェクトとして指定します。ウォームスタートオブジェクトには、開始点とオプションに加え、コード生成におけるメモリサイズ用のオプションデータが含まれます。詳細については、ウォームスタートのベストプラクティスを参照してください。

例: ws = optimwarmstart(x0,options)

出力引数

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`x` — 解
実数ベクトル

解は、すべての範囲制約および線形制約に従って C*x-d のノルムを最小化するベクトルとして返されます。

`wsout` — 解ウォームスタートオブジェクト
`LsqlinWarmStart` オブジェクト

解ウォームスタートオブジェクト。LsqlinWarmStart オブジェクトとして返されます。解点は wsout.X です。

この後の lsqlin の呼び出しでは、wsout を入力ウォームスタートオブジェクトとして使用できます。

`resnorm` — 目的値
実数スカラー

目的値はスカラー値 norm(C*x-d)^2 として返されます。

`residual` — 解の残差
実数ベクトル

解の残差はベクトル C*x-d として返されます。

`exitflag` — アルゴリズムの停止条件
整数

アルゴリズムの停止条件。アルゴリズムの停止理由を識別する整数として返されます。exitflag の値と lsqlin が停止した対応する理由を以下に示します。

`3`	残差の変化が、指定された許容誤差 `options.FunctionTolerance` より小さい値でした (`trust-region-reflective` アルゴリズム)。
`2`	ステップサイズが `options.StepTolerance` より小さく、制約は満たされました (`interior-point` アルゴリズム)。
`1`	関数が解 `x` に収束したことを示します。
`0`	反復数が `options.MaxIterations` を超過しています。
`-2`	問題が実行不可能。また、`interior-point` アルゴリズムの場合、ステップサイズは `options.StepTolerance` より小さいが、制約は満たされません。
`-3`	問題が非有界です。
`-4`	悪条件のため、さらに最適化を行うことができないことを示します。
`-8`	ステップ方向を計算できません。

interior-point アルゴリズムの終了メッセージは、許容誤差の超過など、lsqlin が停止した理由に関する情報をより詳細に提供します。詳細については、終了フラグと終了メッセージを参照してください。

`output` — 解法プロセスの概要
構造体

最適化プロセスに関する情報を含む構造体として返された解法プロセスの概要。

`iterations`	ソルバーが実行した反復の回数。
`algorithm`	次のいずれかのアルゴリズム。 `'interior-point'` `'trust-region-reflective'` `'direct'` (制約のない問題の場合) 制約のない問題の場合は `iterations` = 0 となり、`output` 構造体の残りのエントリは空になります。
`constrviolation`	違反された制約について明らかな制約違反 (`'trust-region-reflective'` アルゴリズムについては返されない)。 `constrviolation = max([0;norm(Aeqx-beq, inf);(lb-x);(x-ub);(Ax-b)])`
`message`	終了メッセージ。
`firstorderopt`	解における 1 次の最適性。詳細については、1 次の最適性の尺度を参照してください。
`linearsolver`	内部的な線形ソルバーのタイプ、`'dense'` または `'sparse'` (`'interior-point'` アルゴリズムのみ)
`cgiterations`	ソルバーが実行した共役勾配反復の回数。値が空でないのは `'trust-region-reflective'` アルゴリズムの場合のみです。

詳細については、出力構造体を参照してください。

`lambda` — ラグランジュ乗数
構造体

ラグランジュ乗数は以下のフィールドを含む構造体として返されます。

`lower`	下限 `lb`
`upper`	上限 `ub`
`ineqlin`	線形不等式
`eqlin`	線形等式

詳細については、ラグランジュ乗数構造体を参照してください。

ヒント

制約のない問題では、mldivide (行列の左除算) または lsqminnorm の使用を検討してください。制約がない場合、lsqlin は x = C\d を返します。
解かれる問題が常に凸型なので、lsqlin は必ずしも一意ではないがグローバルな解を見つけます。
問題に多数の線形制約があるものの変数の数は少ない場合は、'active-set' アルゴリズムを試してください。詳細については、多数の線形制約がある場合の二次計画法を参照してください。
lb および ub を陰的に使用する代わりに、Aeq および beq を陽的に使用することで等式を指定する場合、より良い数値結果が出力されます。
trust-region-reflective アルゴリズムは上限と下限を同じ値に設定できません。そのような場合は別のアルゴリズムを使用してください。
問題の指定された入力範囲が矛盾する場合、出力 x は x0、出力 resnorm と residual は [] です。
行列 C が大きすぎてメモリが不足する場合など、一部の大規模な構造の問題は、trust-region-reflective アルゴリズムでヤコビ乗算関数を使用して解くことができます。詳細については、trust-region-reflective アルゴリズムのオプションを参照してください。

アルゴリズム

すべて折りたたむ

信頼領域 Reflective 法アルゴリズム

この方法は、部分空間信頼領域法であり、[1] で説明する interior-reflective ニュートン法に基づいています。各反復は、前処理付き共役勾配 (PCG) 法を使用する大型線形システムの近似解を伴います。信頼領域 Reflective 法の最小二乗と、特に大規模な線形最小二乗法を参照してください。

内点法アルゴリズム

'interior-point' アルゴリズムは quadprog 'interior-point-convex' アルゴリズムに基づいています。詳細については、線形最小二乗法: 内点法または有効制約法を参照してください。

有効制約法アルゴリズム

'active-set' アルゴリズムは quadprog 'active-set' アルゴリズムに基づいています。詳細については、線形最小二乗法: 内点法または有効制約法とactive-set quadprog アルゴリズムを参照してください。

制約なし問題

制約なし問題の場合、lsqlin は decomposition を使用して C 係数行列の分解を実行します。lsqlin で行列 C が悪条件であることを検出すると、lsqlin は QR 分解を使用して問題を解きます。

参照

[1] Coleman, T. F. and Y. Li. “A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on Some of the Variables,” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, Number 4, pp. 1040–1058, 1996.

[2] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization, Academic Press, London, UK, 1981.

ウォームスタート

ウォームスタートオブジェクトは、前回解いた問題のアクティブな制約のリストを維持します。ソルバーは、アクティブな制約情報を可能な限り多く引き継いで、現在の問題を解きます。前回の問題と現在の問題が違いすぎる場合、アクティブセットの情報は再利用されません。この場合、ソルバーは効率的にコールドスタートを実行して、アクティブな制約のリストを再構築します。

代替機能

アプリ

[最適化] ライブエディタータスクが lsqlin にビジュアルインターフェイスを提供します。

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限

バージョン履歴

R2006a より前に導入

すべて展開する

R2024a: 制約なし問題の処理のロバスト性が向上

正方入力行列 C (行数と列数が等しい行列) をもつ悪条件の制約なし問題を解くときに、ソルバーで追加のステップが実行されるようになりました。これにより、結果の精度が向上し、Inf または NaN の結果になる可能性が低くなっています。

制約なし問題の output.algorithm フィールドは、以前の 'mldivide' ではなく 'direct' になっています。

参考

mldivide | lsqnonneg | quadprog | 最適化 | optimwarmstart

lsqlin

構文

説明

例

線形不等式制約付きの最小二乗法

線形制約と範囲指定付きの最小二乗法

既定以外のオプションを使った線形最小二乗

すべての出力を返す

ウォーム スタート オブジェクトを返す

入力引数

C — 乗数行列 実数行列

d — 定数ベクトル 実数ベクトル

A — 線形不等式制約 実数行列

b — 線形不等式制約 実数ベクトル

Aeq — 線形等式制約 実数行列

beq — 線形等式制約 実数ベクトル

lb — 下限 [] (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

ub — 上限 [] (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

x0 — 初期点 zeros(M,1) (M は方程式の数) (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

options — lsqlin のオプション optimoptions を使用して作成されたオプション | optimset などによって作成された構造体

problem — 最適化問題 構造体

ws — ウォーム スタート オブジェクト optimwarmstart を使用して作成されたオブジェクト

出力引数

x — 解 実数ベクトル

wsout — 解ウォーム スタート オブジェクト LsqlinWarmStart オブジェクト

resnorm — 目的値 実数スカラー

residual — 解の残差 実数ベクトル

exitflag — アルゴリズムの停止条件 整数

output — 解法プロセスの概要 構造体

lambda — ラグランジュ乗数 構造体

ヒント

アルゴリズム

信頼領域 Reflective 法アルゴリズム

内点法アルゴリズム

有効制約法アルゴリズム

制約なし問題

参照

ウォーム スタート

代替機能

アプリ

拡張機能

C/C++ コード生成 MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2024a: 制約なし問題の処理のロバスト性が向上

参考

トピック

ウォームスタートオブジェクトを返す

`C` — 乗数行列
実数行列

`d` — 定数ベクトル
実数ベクトル

`A` — 線形不等式制約
実数行列

`b` — 線形不等式制約
実数ベクトル

`Aeq` — 線形等式制約
実数行列

`beq` — 線形等式制約
実数ベクトル

`lb` — 下限
`[]` (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

`ub` — 上限
`[]` (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

`x0` — 初期点
`zeros(M,1)` (`M` は方程式の数) (既定値) | 実数ベクトルまたは配列

`options` — `lsqlin` のオプション
`optimoptions` を使用して作成されたオプション | `optimset` などによって作成された構造体

`problem` — 最適化問題
構造体

`ws` — ウォームスタートオブジェクト
`optimwarmstart` を使用して作成されたオブジェクト

`x` — 解
実数ベクトル

`wsout` — 解ウォームスタートオブジェクト
`LsqlinWarmStart` オブジェクト

`resnorm` — 目的値
実数スカラー

`residual` — 解の残差
実数ベクトル

`exitflag` — アルゴリズムの停止条件
整数

`output` — 解法プロセスの概要
構造体

`lambda` — ラグランジュ乗数
構造体

ウォームスタート

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。