mtimes, *

行列乗算

構文

C = A*B

C = mtimes(A,B)

説明

C = A*B は A と B の行列積です。A が m 行 p 列の行列で B が p 行 n 列の行列の場合、C は次で定義される m 行 n 列の行列になります。

$$C(i,j)={\displaystyle \sum _{k=1}^{p}A}(i,k)B(k,j).$$

この定義は、C(i,j) が A の i 行目と B の j 列目の内積であることを示します。この定義を MATLAB^® コロン演算子を使用して以下のように記述できます。

C(i,j) = A(i,:)*B(:,j)

非スカラーの A と B に対しては、A の列数は B の行数と等しくなる必要があります。非スカラー入力の場合、行列乗算は必ずしも可換では "ありません"。つまり、A*B は一般的に B*A と等価ではありません。少なくとも 1 つの入力がスカラーの場合、A*B は A.*B と等価であり、可換です。

C = mtimes(A,B) は A*B の代替方法として実行できますが、まれにしか使われません。これにより、クラスの演算子のオーバーロードが可能です。

例

2 つのベクトルの乗算

1 行 4 列の行ベクトル A と 4 行 1 列の列ベクトル B を作成します。

A = [1 1 0 0];
B = [1; 2; 3; 4];

A と B の乗算を行います。

C = A*B

C = 
3

結果は 1 行 1 列のスカラーであり、ベクトル A および B の "ドット積" または "内積" とも呼ばれます。ドット積 $$A\cdot B$$ は、代わりに構文 dot(A,B) を使用して計算することもできます。

B と A の乗算を行います。

C = B*A

C = 4×4

     1     1     0     0
     2     2     0     0
     3     3     0     0
     4     4     0     0

結果は 4 行 4 列の行列であり、ベクトル A と B の "外積" とも呼ばれます。2 つのベクトルの外積 $$A\otimes B$$ は、行列を返します。

2 つの配列の乗算

2 つの配列 A および B を作成します。

A = [1 3 5; 2 4 7];
B = [-5 8 11; 3 9 21; 4 0 8];

A と B の積を計算します。

C = A*B

C = 2×3

    24    35   114
    30    52   162

A の 2 番目の行と B の 3 番目の列の内積を計算します。

A(2,:)*B(:,3)

ans = 
162

この解は、C(2,3) と同じです。

入力引数

A, B — オペランド

スカラー | ベクトル | 行列

オペランド。スカラー、ベクトルまたは行列として指定します。

• 少なくとも 1 つの入力がスカラーの場合、A*B は A.*B と等価です。この場合、非スカラー配列は任意のサイズにすることができます。

• 非スカラー入力の場合、A および B は 2 次元配列でなければなりません。その際、A の列数は B の行数と等しくなければなりません。

• A または B のいずれかが整数クラス (int16、uint8、…) の場合、もう一方の入力はスカラーでなければなりません。整数データ型のオペランドは、複素数にできません。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char | duration | calendarDuration
複素数のサポート: あり

出力引数

C — 積

スカラー | ベクトル | 行列

積。スカラー、ベクトルまたは行列として返されます。配列 C の行数は入力 A と同じであり、列数は入力 B と同じです。たとえば、A が m 行 0 列の空行列で B が 0 行 n 列の空行列の場合、A*B は要素がゼロである m 行 n 列の行列になります。

ヒント

• A*B*C のような連鎖行列積の場合、かっこを使用して演算順序を指定することにより、実行時間を向上できることがあります。3 つの行列の乗算 A*B*C を考えます。ここで、A は 500 行 2 列、B は 2 行 500 列、C は 500 行 2 列です。

  • かっこがない場合演算の順序は左から右であるため、まず A*B が計算され、500 行 500 列の行列になります。次に、この行列に C が乗算され、500 行 2 列の結果が得られます。

  • 代わりに A*(B*C) を指定した場合、まず B*C の乗算が実行され、2 行 2 列の行列が得られます。次に、この小さい行列が A と乗算され、同じ 500 行 2 列の結果が得られますが、演算が少なくなり、中間のメモリ使用量も少なくなります。

参照

[1] “BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms).” Accessed July 18, 2022. https://netlib.org/blas/.

[2] Davis, Timothy A. “Algorithm 1000: SuiteSparse:GraphBLAS: Graph Algorithms in the Language of Sparse Linear Algebra.” ACM Transactions on Mathematical Software 45, no. 4 (December 31, 2019): 1–25. https://doi.org/10.1145/3322125.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を制限付きでサポートしています。

• A と B のどちらも tall 配列である A*B の場合、どちらか一方がスカラーでなければなりません。

• A'*B の場合、A と B の両方が、最初の次元のサイズが共通の tall ベクトルまたは行列でなければなりません。

詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 純粋な虚数を含む行列と非有限値を含む行列の乗算では、生成コードで出力される結果が MATLAB で出力される結果と一致しないことがあります。非有限値を使用する複素数の乗算の結果 (MATLAB Coder)を参照してください。

• コード生成時に一方または両方のオペランドを可変サイズの行列として定義すると、コード ジェネレーターで行列-行列乗算のコードが生成されます。それらのオペランドのいずれかが実行時にスカラーになる場合、ランライム エラーが発生します。このエラーを回避するには、実行時にスカラーになるオペランドをコード生成時に固定サイズのスカラーとして指定します。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 純粋な虚数と非有限数の乗算は MATLAB と一致しない場合があります。コード ジェネレーターは純粋な虚数による乗算を特別扱いしません。実数部がゼロの数値との計算を排除しません。たとえば、(Inf + 1i)*1i = (Inf*0 – 1*1) + (Inf*1 + 1*0)i = NaN + Infi のようになります。

HDL コード生成
HDL Coder™ を使用して FPGA 設計および ASIC 設計のための VHDL、Verilog および SystemVerilog のコードを生成します。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

mtimes 関数は、GPU 配列を完全にサポートします。GPU 上で関数を実行するには、入力データを gpuArray (Parallel Computing Toolbox) として指定します。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2022a: スパース行列と完全な行列を乗算する際のパフォーマンス向上

次の場合の行列乗算でパフォーマンスが向上しています。

• オペランドの一方がスパース行列で、他方が完全な行列である場合。

• スパース オペランドに少なくとも 5 万個の非ゼロ要素がある場合。

• 非スパース オペランドに少なくとも 32 列 (または、転置されているときは少なくとも 32 行) がある場合。

パフォーマンスの向上は、演算でのマルチスレディングに対する追加サポートによるものであり、したがって、行列のサイズや非ゼロ要素の数が増えるにつれ高速化が進みます。

たとえば、6 個の物理コアが搭載されたマシンで 102,400 行 102,400 列のスパース行列を 102,400 行 128 列の完全な行列と乗算すると、以前のリリースより約 2.7 倍高速になります。

function timingSparseDenseMult
A = delsq(numgrid('S',322));
B = rand(size(A,2),128);
tic
for k = 1:10
    C = A*B;
end
toc
end

おおよその実行時間は以下のとおりです。

R2021b: 0.8 秒

R2022a: 0.3 秒

このコードの時間測定では、Windows^® 10、Intel^® Xeon^® CPU W-2133 (3.60 GHz) 搭載のテスト システムで、関数 timingSparseDenseMult を呼び出しました。

参考

colon | times | dot | cross | pagemtimes | tensorprod

トピック

• 配列と行列の演算
• 演算子の優先順位
• MATLAB の演算子と特殊文字