compreal

コンパニオン状態空間実現を計算する

R2023b 以降

構文

csys = compreal(sys)

csys = compreal(sys,type)

[csys,T] = compreal(___)

説明

csys = compreal(sys) は、単入力 LTI モデル sys の可制御コンパニオン実現を返します。

csys = compreal(sys,type) は、type に応じてモデル sys の実現を返します。type は可制御コンパニオン形式の場合は "c"、可観測コンパニオン形式の場合は "o" として指定します。

• "c" — 単入力 LTI モデル sys の可制御コンパニオン実現を計算します。これは最初の構文と同じです。

• "o" — 単出力 LTI モデル sys の可観測コンパニオン実現を計算します。

[csys,T] = compreal(___) は、以下になるように行列 A、B、C をもつ陽的なモデルに対して変換行列 T も返します。

• 可制御コンパニオン形式が T^-1AT、T^-1B、CT である。

• 可観測コンパニオン形式が TAT^-1、TB、CT^-1 である。

例

状態空間モデルのコンパニオン正準形式への変換

aircraftPitchSSModel.mat には、入力が昇降舵の偏向角 $\delta$ で、出力が航空機ピッチ角 $\theta$ である航空機の状態空間行列が含まれています。

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{\alpha }}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{q}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-0.313& 56.7& 0\\ -0.0139& -0.426& 0\\ 0& 56.7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.232\\ 0.0203\\ 0\end{array}\right]\left[\delta \right]\\ y=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[0\right]\left[\delta \right]\end{array}$$

モデルのデータをワークスペースに読み込み、状態空間モデル sys を作成します。

load('aircraftPitchSSModel.mat');
sys = ss(A,B,C,D)

sys =
 
  A = 
            x1       x2       x3
   x1   -0.313     56.7        0
   x2  -0.0139   -0.426        0
   x3        0     56.7        0
 
  B = 
           u1
   x1   0.232
   x2  0.0203
   x3       0
 
  C = 
       x1  x2  x3
   y1   0   0   1
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.
Model Properties

結果の状態空間モデル sys を可制御コンパニオン形式に変換します。

csys = compreal(sys)

csys =
 
  A = 
              x1         x2         x3
   x1          0          0  1.914e-15
   x2          1          0    -0.9215
   x3          0          1     -0.739
 
  B = 
       u1
   x1   1
   x2   0
   x3   0
 
  C = 
            x1       x2       x3
   y1        0    1.151  -0.6732
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.
Model Properties

csys は sys の可制御コンパニオン形式です。

可観測コンパニオン形式へのシステムの変換

ファイル icEngine.mat には、サンプリング レート 0.04 秒で収集した 1500 の入力/出力サンプルによる 1 つのデータ セットが含まれます。入力 u(t) は、By-Pass Idle Air Valve (BPAV) を制御する電圧 (V) で、出力 y(t) は、エンジン速度 (RPM/100) です。

icEngine.mat のデータを使用して、同定可能なパラメーターをもつ状態空間モデルを作成します。

load icEngine.mat
z = iddata(y,u,0.04);
sys = n4sid(z,4,'InputDelay',2);

同定された状態空間モデル sys を可観測コンパニオン形式に変換します。

[osys,T] = compreal(sys,"o");

sys の周波数応答の信頼限界を osys と比較します。

bp = bodeplot(sys,osys,'r.');
showConfidence(bp)

周波数応答の信頼限界は同一です。

また、compreal は可観測コンパニオン形式が ${\mathit{A}}_{\mathit{o}}={\mathit{TAT}}^{-1}$、${\mathit{B}}_{\mathit{o}}=\mathit{TB}$、${\mathit{C}}_{\mathit{o}}={\mathit{CT}}^{-1}$ になるように変換行列 T を返します。

入力引数

sys — 動的システム

動的システム モデル

動的システム。SISO または MIMO 動的システム モデルとして指定します。使用できる動的システムには次のようなものがあります。

• tf (Control System Toolbox) モデル、zpk (Control System Toolbox) モデル、ss (Control System Toolbox) モデル、pid (Control System Toolbox) モデルなどの連続時間または離散時間の数値 LTI モデル。

• genss (Control System Toolbox) や uss (Robust Control Toolbox) モデルなどの一般化された、あるいは不確かさをもつ LTI モデル。(不確かさをもつモデルを使用するには Robust Control Toolbox™ ソフトウェアが必要です。)

• idtf、idss、idproc、idpoly、idgrey モデルなどの、同定された LTI モデル。

frd (Control System Toolbox) モデルなどの周波数応答データ モデルは使用できません。

type — コンパニオン実現タイプ

"c" (既定値) | "o"

コンパニオン実現タイプ。"c" (可制御コンパニオン形式) または "o" (可観測コンパニオン形式) として指定します。

次の特性多項式を備えたシステムの場合、

$$P(s)=s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+{\alpha }_{n-2}{s}^{n-2}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0,$$

この関数はコンパニオン形式を以下のように返します。

• 可制御コンパニオン形式

  可制御コンパニオン実現では、システムの特性多項式は、行列 A の右端の列に明示的に現れます。

  $$A_{ccom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}-{\alpha }_0\\ -{\alpha }_1\\ -{\alpha }_2\\ -{\alpha }_3\\ ⋮\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{ccom}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right].$$

• 可観測コンパニオン形式

  可観測コンパニオン実現では、システムの特性多項式は、行列 A の最後の行に明示的に現れます。

  $$A_{ocom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_0\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_1\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_2\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_3\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],C_{ocom}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\end{array}\right].$$

詳細については、状態空間実現を参照してください。

出力引数

csys — 動的なモデルのコンパニオン状態空間形式

ss モデル オブジェクト

動的モデルのコンパニオン状態空間形式。ss (Control System Toolbox) モデル オブジェクトとして返されます。csys は、type で指定されたコンパニオン形式 (可制御または可観測) の sys の状態空間実現です。

T — 変換行列

行列 | []

変換行列。n 行 n 列の行列として返されます。ここで n は状態の数です。

• 行列 A、B、C をもつ陽的な状態空間モデルの場合は、関数は以下になるように T を返します。

  • 可制御コンパニオン形式が T^-1AT、T^-1B、CT である。

  • 可観測コンパニオン形式が TAT^-1、TB、CT^-1 である。

• 記述子状態空間モデルの場合は、関数は常に空の値 [] を返します。

ヒント

コンパニオン実現の計算には、多くの場合、悪条件の変換および精度の損失が伴います。数値的に安定した代替方法としては、modalreal または balreal を使用してください。

バージョン履歴

R2023b で導入

参考

modalreal | ss2ss (Control System Toolbox) | ssequiv (Control System Toolbox) | balreal (Control System Toolbox) | pole (Control System Toolbox) | ss (Control System Toolbox)

トピック

• 状態空間実現