linsolve

行列形式のシンボリック線形方程式の求解

構文

X = linsolve(A,B)

[X,R] = linsolve(A,B)

説明

X = linsolve(A,B) は、行列方程式 AX = B を解きます。ここで、A はシンボリック行列、B はシンボリック列ベクトルです。

A が正方行列の場合は、[X,R] = linsolve(A,B) は A の条件数の逆数も返します。それ以外の場合、linsolve は A のランクを返します。

例

行列形式の線形方程式の求解

linsolve を使用して、この行列形式の線形方程式系を解きます。

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{x}\\ \mathit{y}\\ \mathit{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ -10\end{array}\right]$$

A = [ 2 1  1;
     -1 1 -1;
      1 2  3];
B = [2; 3; -10];
X = linsolve(A,B)

X = 3×1

     3
     1
    -5

解は $\mathit{x}=3$、$\mathit{y}=1$、$\mathit{z}=-5$ です。

正方行列のノルムの条件数の計算

2 つの出力引数を使用して、正方係数行列の条件数の逆数を計算します。

syms a x y z
A = [a 0 0; 0 a 0; 0 0 1];
B = [x; y; z];
[X, R] = linsolve(A, B)

X = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{x}{a}\\ \frac{y}{a}\\ z\end{array}\right)$$

R = 
$$\frac{1}{\max \left(\left|a\right|,1\right)\hspace{0.17em}\max \left(\frac{1}{\left|a\right|},1\right)}$$

非正方行列のランクの計算

係数行列が長方形の場合、linsolve は 2 番目の出力引数として係数行列のランクを返します。この動作を示します。

syms a b x y
A = [a 0 1; 1 b 0];
B = [x; y];
[X,R] = linsolve(A,B)

Warning: Solution is not unique because the system is rank-deficient.

X = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{x}{a}\\ -\frac{x-a\hspace{0.17em}y}{a\hspace{0.17em}b}\\ 0\end{array}\right)$$

R = $$2$$

入力引数

A — 係数行列

シンボリック行列

係数行列。シンボリック行列として指定します。

B — 方程式の右辺

シンボリック ベクトル | シンボリック行列

方程式の右辺。シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として指定します。

出力引数

X — 解

シンボリック ベクトル | シンボリック行列

解。シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として返されます。

R — 逆数の条件数またはランク

シンボリック数 | シンボリック式

逆数の条件数またはランク。シンボリック数の式として返されます。A が正方行列の場合は linsolve は A の条件数を返します。それ以外の場合、linsolve は A のランクを返します。

詳細

線形方程式系の行列表現

線形方程式系は次のとおりです。

$$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

この系は、行列方程式 $$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$$ として表すことができます。ここで、A は次の係数行列です。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{b}$$ は、方程式の右辺を含むベクトルです。

$$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

ヒント

• 解が一意ではない場合、linsolve は警告を表示した上で解を 1 つ選択して返します。

• 方程式系に解が存在しない場合、linsolve は警告を表示し、すべての要素が Inf に設定された状態で X を返します。

• シンボリック オブジェクトではない数値行列について linsolve を呼び出すと、MATLAB^® 関数 linsolve が呼び出されます。この関数では実数の引数だけが受け入れられます。方程式系に複素数が使用される場合、sym を使って少なくとも 1 つの行列をシンボリック行列に変換してから linsolve を呼び出してください。

バージョン履歴

R2012b で導入

参考

cond | dsolve | equationsToMatrix | inv | norm | odeToVectorField | rank | solve | symvar | vpasolve

トピック

• 代数方程式系の求解