norm

シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列のノルム

構文

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(A)

n = norm(A,P)

n = norm(X,"fro")

説明

n = norm(v) は、シンボリック ベクトル v の 2 ノルムを返します。

n = norm(v,p) は、シンボリック ベクトル v の p ノルムを返します。

n = norm(A) は、シンボリック行列 A の 2 ノルムを返します。既定では、シンボリック変数は複素数であるという前提であるため、ノルムは conj および abs への未解決の呼び出しを含むことがあります。

n = norm(A,P) は、シンボリック行列 A の P ノルムを返します。

n = norm(X,"fro") は、シンボリック多次元配列 X のフロベニウス ノルムを返します。

例

行列の 2 ノルムの計算

3 行 3 列の魔方陣 A の逆行列の 2 ノルムを計算します。

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm2 = norm(A)

norm2 = 
$$\frac{\sqrt{3}}{6}$$

vpa を使用して 20 桁の精度で結果を近似します。

norm2_vpa = vpa(norm2,20)

norm2_vpa = $$0.28867513459481288225$$

ノルムに与える仮定の影響

[x y] のノルムを計算して結果を単純化します。既定では、シンボリック スカラー変数は複素数であるという前提であるため、abs への呼び出しは単純化されません。

syms x y
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{{\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2}$$

x および y が実数であると仮定して、計算を繰り返します。今度は、結果が単純化されます。

assume([x y],"real")
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{x^2+y^2}$$

計算を続けるため、x の仮定を削除します。詳細については、シンボリック変数の仮定の使用を参照してください。

assume(x,"clear")

行列の異なるタイプのノルムの計算

3 行 3 列の魔方陣 A の逆行列の、1 ノルム、フロベニウス ノルム、および無限大ノルムを計算します。

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm1 = norm(A,1)

norm1 = 
$$\frac{16}{45}$$

normf = norm(A,"fro")

normf = 
$$\frac{\sqrt{391}}{60}$$

normi = norm(A,Inf)

normi = 
$$\frac{16}{45}$$

vpa を使用して 20 桁の精度で結果を近似します。

norm1_vpa = vpa(norm1,20)

norm1_vpa = $$0.35555555555555555556$$

normf_vpa = vpa(normf,20)

normf_vpa = $$0.32956199888808647519$$

normi_vpa = vpa(normi,20)

normi_vpa = $$0.35555555555555555556$$

ベクトルの異なるタイプのノルムの計算

列ベクトル V = [Vx; Vy; Vz] の、1 ノルム、2 ノルム、および 3 ノルムを計算します。

syms Vx Vy Vz
V = [Vx; Vy; Vz];
norm1 = norm(V,1)

norm1 = $$\left|\mathrm{Vx}\right|+\left|\mathrm{Vy}\right|+\left|\mathrm{Vz}\right|$$

norm2 = norm(V)

norm2 = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

norm3 = norm(V,3)

norm3 = $${\left({\left|\mathrm{Vx}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^3\right)}^{1/3}$$

V の無限大ノルム、負の無限大ノルム、およびフロベニウス ノルムを計算します。

normi = norm(V,Inf)

normi = $$\max \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normni = norm(V,-Inf)

normni = $$\min \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normf = norm(V,"fro")

normf = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

入力引数

v — 入力ベクトル

シンボリック スカラー変数のベクトル | シンボリック行列変数 | シンボリック関数 | シンボリック行列関数

入力ベクトル。シンボリック スカラー変数のベクトル、シンボリック行列変数、シンボリック関数、またはベクトルを表現するシンボリック行列関数として指定します。

p — 入力

2 (既定値) | 1 | 正の整数スカラー | Inf | -Inf | "fro"

• norm(v,p) は 1<=p<Inf に対する sum(abs(v).^p)^(1/p) として計算されます。

• norm(v) は、V の 2 ノルムを計算します。

• norm(v,Inf) は max(abs(V)) として計算されます。

• norm(v,-Inf) は min(abs(V)) として計算されます。

A — 入力行列

シンボリック スカラー変数の行列 | シンボリック行列変数 | シンボリック関数 | シンボリック行列関数

入力行列。シンボリック スカラー変数の行列、シンボリック行列変数、シンボリック関数、または行列を表現するシンボリック行列関数として指定します。

P — 入力

2 (既定値) | 1 | Inf | "fro"

1、2、Inf、"fro" のいずれかの値。

• norm(A,1) は、A の 1 ノルムを返します。

• norm(A,2) または norm(A) は、A の 2 ノルムを返します。

• norm(A,Inf) は、A の無限大ノルムを返します。

• norm(A,"fro") は、A のフロベニウス ノルムを返します。

X — 入力配列

シンボリック スカラー変数の多次元配列

入力配列。シンボリック スカラー変数の多次元配列として指定します。

詳細

行列の 1 ノルム

m 行 n 列の行列 A の 1 ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_1=\underset{j}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|A_{ij}\right|}\right),\text{ where }j=1\dots n$$

行列の 2 ノルム

m 行 n 列の行列 A の 2 ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_2=\sqrt{{\text{max eigenvalue of A}}^{H}A}$$

2 ノルムは行列のスペクトル ノルムとも呼ばれます。

行列の無限大ノルム

m 行 n 列の行列 A の無限大ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_{\infty }=\max \left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{1j}\right|,}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{2j}\right|,}\dots ,{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{mj}\right|}\right)$$

行列と多次元配列のフロベニウス ノルム

m 行 n 列の行列 A のフロベニウス ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|A_{ij}\right|}^2}\right)}}$$

l×m×n の多次元配列 X のフロベニウス ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\displaystyle \sum _{j=1}^m\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left|X_{ijk}\right|}^2}\right)}\right)}}$$

ベクトルの P ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の P ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_P={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^P}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P$}\right.}$$

ここで、n は 1 より大きい整数でなければなりません。

ベクトルのフロベニウス ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V のフロベニウス ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^2}}$$

ベクトルのフロベニウス ノルムは、その 2 ノルムと一致します。

ベクトルの無限大および負の無限大ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の無限大ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_{\infty }=\max \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の負の無限大ノルムは次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_{-\infty }=\min \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

ヒント

• シンボリック オブジェクトではない数値行列に対し norm を呼び出すと、MATLAB^® の関数 norm が呼び出されます。

バージョン履歴

R2012b で導入

R2022a: シンボリック配列のフロベニウス ノルムの計算

関数 norm は、入力引数としてシンボリック多次元配列を受け入れます。シンボリック配列 X のフロベニウス ノルムを返すには、構文 norm(X,"fro") を使用します。

R2022a: シンボリック行列関数のノルムの計算

関数 norm は symfunmatrix 型の入力引数を受け入れます。

R2021a: シンボリック行列変数のノルムの計算

関数 norm は symmatrix 型の入力引数を受け入れます。

参考

cond | equationsToMatrix | inv | linsolve | rank