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equationsToMatrix

線形方程式の行列形式への変換

構文

[A,b] = equationsToMatrix(eqns)

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,vars)

A = equationsToMatrix(___)

説明

[A,b] = equationsToMatrix(eqns) は方程式 eqns を行列形式に変換します。eqns は、symvar によって eqns 内で検出されるすべての変数の線形方程式系でなければなりません。

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,vars) は eqns を行列形式に変換します。ここで、eqns は vars 内で線形でなければなりません。

A = equationsToMatrix(___) は方程式系の係数行列のみを返します。

例

線形方程式の行列形式への変換

線形方程式系を行列形式に変換します。equationsToMatrix は、symvar を使用して方程式内で変数を自動検出します。返された係数行列は symvar で決定された変数の順番に従います。

syms x y z
eqns = [x+y-2*z == 0,
        x+y+z == 1,
        2*y-z == -5];
[A,b] = equationsToMatrix(eqns)

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$$

b = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$$

vars = symvar(eqns)

vars = $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)$$

その他の変数の順番を指定することにより、係数行列の配置を変更できます。

vars = [x,z,y];
[A,b] = equationsToMatrix(eqns,vars)

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$

b = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$$

方程式内の変数の指定

線形方程式系を、独立変数を指定して行列形式に変換します。これは、方程式が一部の変数でのみ線形である場合に役立ちます。

この系に対しては、系が r では線形でないため、変数を [s t] として指定します。

syms r s t
eqns = [s-2*t+r^2 == -1
        3*s-t == 10];
vars = [s t];
[A,b] = equationsToMatrix(eqns,vars)

A = 
$$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -1\end{array}\right)$$

b = 
$$\left(\begin{array}{c}-r^2-1\\ 10\end{array}\right)$$

方程式の係数行列のみを返す

単一の出力引数を指定して、方程式の係数行列のみ返します。

syms x y z
eqns = [x+y-2*z == 0,
        x+y+z   == 1,
        2*y-z   == -5];
vars = [x y z];
A = equationsToMatrix(eqns,vars)

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$$

時間の関数である方程式系の求解

時間の関数である次の線形方程式系を考えます。

$$\begin{array}{l}2x(t)+y(t)+z(t)=2u(t)\\ -x(t)+y(t)-z(t)=v(t)\\ x(t)+2y(t)+3z(t)=-10\end{array}$$

方程式系を宣言します。

syms x(t) y(t) z(t) u(t) v(t)
eqn1 = 2*x + y + z == 2*u;
eqn2 = -x + y - z == v;
eqn3 = x + 2*y + 3*z == -10;
eqn = [eqn1; eqn2; eqn3]

eqn(t) = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}x\left(t\right)+y\left(t\right)+z\left(t\right)=2\hspace{0.17em}u\left(t\right)\\ y\left(t\right)-x\left(t\right)-z\left(t\right)=v\left(t\right)\\ x\left(t\right)+2\hspace{0.17em}y\left(t\right)+3\hspace{0.17em}z\left(t\right)=-10\end{array}\right)$$

方程式の独立変数 $$x(t)$$、$$y(t)$$、および $$z(t)$$ をシンボリック ベクトル vars として指定します。関数 equationsToMatrix を使用して方程式系を行列形式に変換します。

vars = [x(t); y(t); z(t)];
[A,b] = equationsToMatrix(eqn,vars)

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$

b = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}u\left(t\right)\\ v\left(t\right)\\ -10\end{array}\right)$$

関数 linsolve を使用して、方程式の行列形式を解きます。

X = linsolve(A,b)

X = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{10\hspace{0.17em}u\left(t\right)}{9}-\frac{v\left(t\right)}{9}+\frac{20}{9}\\ \frac{4\hspace{0.17em}u\left(t\right)}{9}+\frac{5\hspace{0.17em}v\left(t\right)}{9}-\frac{10}{9}\\ -\frac{2\hspace{0.17em}u\left(t\right)}{3}-\frac{v\left(t\right)}{3}-\frac{10}{3}\end{array}\right)$$

関数 $$u(t)=\cos (t)$$ および $$v(t)=\sin (2t)$$ の $$z(t)$$ 解を評価します。$$z(t)$$ 解をプロットします。

zSol = subs(X(3),[u(t) v(t)],[cos(t) sin(2*t)])

zSol = 
$$-\frac{\sin \left(2\hspace{0.17em}t\right)}{3}-\frac{2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)}{3}-\frac{10}{3}$$

fplot(zSol)

入力引数

eqns — 線形方程式

シンボリック方程式または式のベクトル

線形方程式。シンボリックな方程式または式のベクトルとして指定します。シンボリック方程式は、x + y == 1 のように、== 演算子により定義されます。シンボリック式の場合、equationsToMatrix は右辺が 0 であると仮定します。

方程式は vars の線形方程式でなければなりません。

vars — 独立変数

シンボリック変数のベクトル (既定値) | シンボリック関数のベクトル

eqns 内の独立変数。シンボリック変数またはシンボリック関数のベクトルとして指定します。

出力引数

A — 係数行列

シンボリック行列

線形方程式系の係数行列。シンボリック行列として指定します。

b — 方程式の右辺

シンボリック行列

方程式の右辺を含むベクトル。シンボリック行列として指定します。

詳細

線形方程式系の行列表現

線形方程式系

$$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

は、行列方程式 $$A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$$ として表すことができます。ここで、A は係数行列です。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{b}$$ は、方程式の右辺を含むベクトルです。

$$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

バージョン履歴

R2012b で導入

参考

linsolve | odeToVectorField | solve | symvar

トピック

• 線形方程式系の求解