連立線形方程式の求解

この例では、Symbolic Math Toolbox™ を使用して連立線形方程式を解く方法を説明します。

linsolve を使用した連立線形方程式の求解

連立線形方程式

$$\begin{array}{l}{\mathit{a}}_{11}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{1\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}={\mathit{b}}_1\\ {\mathit{a}}_{21}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{2\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}={\mathit{b}}_2\\ \dots \\ {\mathit{a}}_{\mathit{m}1}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{\mathit{m}2}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{mn}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}={\mathit{b}}_{\mathit{m}}\end{array}$$

は、行列方程式 $\mathit{A}\overrightarrow{\mathit{x}}=\overrightarrow{\mathit{b}}$ として表すことができます。ここで、$$A$$ は次の係数行列です。

$$\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathit{a}}_{11}& \cdots & {\mathit{a}}_{1\mathit{n}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{a}}_{\mathit{m1}}& \cdots & {\mathit{a}}_{\mathit{mn}}\end{array}\right]$$

また、$\overrightarrow{\mathit{b}}$ は、方程式の右辺を含むベクトルです。

$$\overrightarrow{\mathit{b}}=\left[\begin{array}{c}{\mathit{b}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{b}}_{\mathit{m}}\end{array}\right]$$

連立線形方程式が AX = B の形式になっていない場合は、equationsToMatrix を使用して方程式をこの形式に変換します。以下の連立方程式を考えます。

$$\begin{array}{l}2\mathit{x}+\mathit{y}+\mathit{z}=2\\ -\mathit{x}+\mathit{y}-\mathit{z}=3\\ \mathit{x}+2\mathit{y}+3\mathit{z}=-10\end{array}$$

連立方程式を定義します。

syms x y z
eqn1 = 2*x + y + z == 2;
eqn2 = -x + y - z == 3;
eqn3 = x + 2*y + 3*z == -10;

equationsToMatrix を使用して方程式を AX = B の形式に変換します。equationsToMatrix への 2 番目の入力は方程式の独立変数を指定します。

[A,B] = equationsToMatrix([eqn1,eqn2,eqn3],[x,y,z])

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$

B = 
$$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -10\end{array}\right)$$

linsolve を使用して AX = B を解き、不明な X のベクトルを求めます。

X = linsolve(A,B)

X = 
$$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -5\end{array}\right)$$

X の結果から、方程式の解は $$x=3$$、$$y=1$$、および $$z=-5$$ です。

solve を使用した連立線形方程式の求解

方程式が係数の行列ではなく式の形式である場合は linsolve の代わりに solve を使用します。同様の連立線形方程式を考えます。

$\begin{array}{l}2\mathit{x}+\mathit{y}+\mathit{z}=2\\ -\mathit{x}+\mathit{y}-\mathit{z}=3\\ \mathit{x}+2\mathit{y}+3\mathit{z}=-10\end{array}$

連立方程式を定義します。

syms x y z
eqn1 = 2*x + y + z == 2;
eqn2 = -x + y - z == 3;
eqn3 = x + 2*y + 3*z == -10;

solve を使用して連立方程式を解きます。solve への入力は方程式のベクトルと、方程式から求める変数のベクトルです。

sol = solve([eqn1,eqn2,eqn3],[x,y,z]);

solve は解を構造体配列で返します。解にアクセスするには配列のインデックスを指定します。

xSol = sol.x

xSol = $$3$$

ySol = sol.y

ySol = $$1$$

zSol = sol.z

zSol = $$-5$$

参考

トピック

• 代数方程式の求解
• 連立代数方程式の求解