norm

シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列のノルム

構文

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(A)

n = norm(A,P)

n = norm(X,"fro")

説明

n = norm(v) は、シンボリック ベクトル v の 2 ノルムまたは大きさを返します。

n = norm(v,p) は、シンボリック ベクトル v の p ノルムを返します。

n = norm(A) は、シンボリック行列 A の 2 ノルムを返します。シンボリック変数は既定では複素数であると仮定されるため、ノルムに conj や abs の未解決の呼び出しが含まれることがあります。

n = norm(A,P) は、シンボリック行列 A の P ノルムを返します。

n = norm(X,"fro") は、シンボリック多次元配列 X のフロベニウス ノルムを返します。

例

シンボリック ベクトルの大きさ

シンボリック ベクトルを作成し、大きさを計算します。

syms x y z
r = [x y z]

r = $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)$$

n = norm(r)

n = $$\sqrt{{\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2+{\left|z\right|}^2}$$

行列の 2 ノルムの計算

3 行 3 列の魔方陣の逆行列 A の 2 ノルムを計算します。

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm2 = norm(A)

norm2 = 
$$\frac{\sqrt{3}}{6}$$

vpa を使用して 20 桁の精度で結果を近似します。

norm2_vpa = vpa(norm2,20)

norm2_vpa = $$0.28867513459481288225$$

ノルムに与える仮定の影響

[x y] のノルムを計算して結果を単純化します。シンボリック スカラー変数は既定では複素数であると仮定されるため、abs の呼び出しは単純化されません。

syms x y
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{{\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2}$$

x と y が実数であると仮定して、計算を繰り返します。今度は、結果が単純化されます。

assume([x y],"real")
n = simplify(norm([x y]))

n = $$\sqrt{x^2+y^2}$$

計算を続けるため、x の仮定を削除します。詳細については、シンボリック変数の仮定の使用を参照してください。

assume(x,"clear")

行列の各種ノルムの計算

3 行 3 列の魔方陣の逆行列 A の 1 ノルム、フロベニウス ノルム、無限大ノルムを計算します。

A = inv(sym(magic(3)))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{53}{360}& -\frac{13}{90}& \frac{23}{360}\\ -\frac{11}{180}& \frac{1}{45}& \frac{19}{180}\\ -\frac{7}{360}& \frac{17}{90}& -\frac{37}{360}\end{array}\right)$$

norm1 = norm(A,1)

norm1 = 
$$\frac{16}{45}$$

normf = norm(A,"fro")

normf = 
$$\frac{\sqrt{391}}{60}$$

normi = norm(A,Inf)

normi = 
$$\frac{16}{45}$$

vpa を使用して、これらの結果を 20 桁の精度に近似します。

norm1_vpa = vpa(norm1,20)

norm1_vpa = $$0.35555555555555555556$$

normf_vpa = vpa(normf,20)

normf_vpa = $$0.32956199888808647519$$

normi_vpa = vpa(normi,20)

normi_vpa = $$0.35555555555555555556$$

ベクトルの各種ノルムの計算

列ベクトル V = [Vx; Vy; Vz] の 1 ノルム、2 ノルム、3 ノルムを計算します。

syms Vx Vy Vz
V = [Vx; Vy; Vz];
norm1 = norm(V,1)

norm1 = $$\left|\mathrm{Vx}\right|+\left|\mathrm{Vy}\right|+\left|\mathrm{Vz}\right|$$

norm2 = norm(V)

norm2 = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

norm3 = norm(V,3)

norm3 = $${\left({\left|\mathrm{Vx}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^3+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^3\right)}^{1/3}$$

V の無限大ノルム、負の無限大ノルム、フロベニウス ノルムを計算します。

normi = norm(V,Inf)

normi = $$\max \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normni = norm(V,-Inf)

normni = $$\min \left(\left|\mathrm{Vx}\right|,\left|\mathrm{Vy}\right|,\left|\mathrm{Vz}\right|\right)$$

normf = norm(V,"fro")

normf = $$\sqrt{{\left|\mathrm{Vx}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vy}\right|}^2+{\left|\mathrm{Vz}\right|}^2}$$

入力引数

v — 入力ベクトル

シンボリック スカラー変数のベクトル | シンボリック行列変数 | シンボリック関数 | シンボリック行列関数

入力ベクトル。シンボリック スカラー変数のベクトル、またはベクトルを表すシンボリック行列変数、シンボリック関数、シンボリック行列関数として指定します。

p — 入力

2 (既定値) | 1 | 正の整数スカラー | Inf | -Inf | "fro"

• norm(v,p) は、sum(abs(v).^p)^(1/p) として計算されます。ここで 1<=p<Inf です。

• norm(v) は、V の 2 ノルムを計算します。

• norm(v,Inf) は、max(abs(V)) として計算されます。

• norm(v,-Inf) は、min(abs(V)) として計算されます。

A — 入力行列

シンボリック スカラー変数の行列 | シンボリック行列変数 | シンボリック関数 | シンボリック行列関数

入力行列。シンボリック スカラー変数の行列、または行列を表すシンボリック行列変数、シンボリック関数、シンボリック行列関数として指定します。

P — 入力

2 (既定値) | 1 | Inf | "fro"

1、2、Inf、または "fro" のいずれかの値。

• norm(A,1) は、A の 1 ノルムを返します。

• norm(A,2) または norm(A) は、A の 2 ノルムを返します。

• norm(A,Inf) は、A の無限大ノルムを返します。

• norm(A,"fro") は、A のフロベニウス ノルムを返します。

X — 入力配列

シンボリック スカラー変数の多次元配列

入力配列。シンボリック スカラー変数の多次元配列として指定します。

詳細

行列の 1 ノルム

m 行 n 列の行列 A の 1 ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_1=\underset{j}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|A_{ij}\right|}\right),\text{ where }j=1\dots n$$

行列の 2 ノルム

m 行 n 列の行列 A の 2 ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_2=\sqrt{{\text{max eigenvalue of A}}^{H}A}$$

2 ノルムは、行列のスペクトル ノルムとも呼ばれます。

行列の無限大ノルム

m 行 n 列の行列 A の無限大ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_{\infty }=\max \left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{1j}\right|,}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{2j}\right|,}\dots ,{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|A_{mj}\right|}\right)$$

行列および多次元配列のフロベニウス ノルム

m 行 n 列の行列 A のフロベニウス ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert A\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|A_{ij}\right|}^2}\right)}}$$

l×m×n の多次元配列 X のフロベニウス ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\displaystyle \sum _{j=1}^m\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left|X_{ijk}\right|}^2}\right)}\right)}}$$

ベクトルの P ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の P ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_P={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^P}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$P$}\right.}$$

ここで、n は 1 より大きい整数でなければなりません。

ベクトルのフロベニウス ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V のフロベニウス ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|V_i\right|}^2}}$$

ベクトルのフロベニウス ノルムは 2 ノルムと一致します。

ベクトルの無限大ノルムと負の無限大ノルム

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の無限大ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_{\infty }=\max \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

1 行 n 列または n 行 1 列のベクトル V の負の無限大ノルムは、次のように定義されます。

$${\Vert V\Vert }_{-\infty }=\min \left(\left|V_i\right|\right),\text{ where }i=1\dots n$$

ヒント

• シンボリック オブジェクトではない数値行列に対して norm を呼び出すと、MATLAB^® の norm 関数が呼び出されます。

バージョン履歴

R2012b で導入

R2022a: シンボリック配列のフロベニウス ノルムの計算

norm 関数は入力引数としてシンボリック多次元配列を受け入れます。シンボリック配列 X のフロベニウス ノルムを返すには、構文 norm(X,"fro") を使用します。

R2022a: シンボリック行列関数のノルムの計算

norm 関数は symfunmatrix 型の入力引数を受け入れます。

R2021a: シンボリック行列変数のノルムの計算

norm 関数は symmatrix 型の入力引数を受け入れます。

参考

cond | equationsToMatrix | inv | linsolve | rank