finv

F 逆累積分布関数

構文

x = finv(p,nu1,nu2)

説明

x = finv(p,nu1,nu2) は、p 内の確率値で評価した自由度 nu1 (分子) および nu2 (分母) の F 分布の逆累積分布関数 (icdf) を返します。

例

"F" 分布の cdf の逆関数

自由度が nu1 と nu2 の "F" 分布について、p 内の確率値で評価した逆 cdf の値を計算します。

p = linspace(0.005,0.995,100);
nu1 = 8;
nu2 = 9;
x = finv(p,nu1,nu2);

累積分布逆関数をプロットします。

plot(p,x)
grid on
xlabel("p")
ylabel("x = F^{-1}(p| nu1 = " + num2str(nu1)...
    + ", nu2 = " + num2str(nu2) + ")")

標本分散の比

正規分布から抽出した 2 つの独立した無作為標本について考えます。標本のサイズは n1 と n2 です。標本の分散比は、自由度が n1–1 と n2–1 の "F" 分布になります。"F" 分布の逆 cdf を使用して、分散比が 95% の確率でその範囲内に収まる範囲 [0 r95] を計算します。

rng default % For reproducibility
n1 = 100;
n2 = 105;
p = 0.95;
r = finv([0 p],n1-1,n2-1)

r = 1×2

         0    1.3874

標準正規分布から無作為標本を 2 つ生成し、それらの分散比を計算します。

s1 = randn([n1 1]);
s2 = randn([n2 1]);
r12 = var(s1)/var(s2)

r12 = 
1.3749

分散比 r12 は範囲 [0 r95] に収まります。

2 つの分散の比の推定

分散が未知の正規母集団から抽出した 2 つの独立した無作為標本について考えます。標本のサイズは n1 と n2 で、母集団の分散は var1 と var2 です。標本の分散は v1 と v2 です。"F" 分布の逆 cdf を使用して、比 var1/var2 の 95% 信頼区間を計算します。

標本のサイズと分散を入力し、標本分散の比を計算します。

n1 = 122;
n2 = 124;
v1 = 1.3;
v2 = 1.2;
r = v1/v2

r = 
1.0833

標本分散の比は r です。

母集団分散比 var1/var2 の 95% 信頼区間を計算します。

pCI = 95;
p = (1+pCI/100)/2;
rLow = v1/v2/finv(p,n1-1,n2-1)

rLow = 
0.7586

rHigh = v1/v2*finv(p,n2-1,n1-1)

rHigh = 
1.5479

母集団分散比 var1/var2 が範囲 [rLow rHigh] に収まる確率は 0.95 です。

入力引数

p — cdf の逆関数を評価する確率値

[0,1] のスカラー値 | スカラー値の配列

cdf の逆関数 (icdf) を評価する確率値。スカラー値、または各要素が範囲 [0,1] にあるスカラー値の配列を指定します。

• 複数の値で icdf を評価するには、配列を使用して p を指定します。

• 複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して nu1 と nu2 を指定します。

入力引数 p、nu1 および nu2 の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、finv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。

例: [0.1,0.5,0.9]

データ型: single | double

nu1 — 自由度の数 (分子)

正のスカラー値 | 正のスカラー値の配列

F 分布関数の分子の自由度の数。正のスカラー値、または正のスカラー値の配列として指定します。

• 複数の値で icdf を評価するには、配列を使用して p を指定します。

• 複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して nu1 と nu2 を指定します。

入力引数 p、nu1 および nu2 の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、finv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。

例: [ 8 7 9]

データ型: single | double

nu2 — 自由度の数 (分母)

正のスカラー値 | 正のスカラー値の配列

F 分布関数の分母の自由度の数。正のスカラー値、または正のスカラー値の配列として指定します。

• 複数の値で icdf を評価するには、配列を使用して p を指定します。

• 複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して nu1 と nu2 を指定します。

入力引数 p、nu1 および nu2 の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、finv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。

例: [ 7 6 10]

データ型: single | double

出力引数

x — 逆 cdf の値

スカラー値 | スカラー値の配列

p 内の確率で評価した逆 cdf の値。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。x は、必要なスカラー拡張後の p、nu1、および nu2 と同じサイズになります。x の各要素は、p 内の対応する確率で評価された、nu1 および nu2 内の対応する要素によって指定された分布の逆 cdf の値です。

詳細

F 分布

F 逆関数は、F 累積分布関数 (cdf) を使用して次のように定義されます。

$$x=F^{-1}\left(p|{\nu }_1,{\nu }_2\right)=\left\{x:F\left(x|{\nu }_1,{\nu }_2\right)=p\right\}$$

ここで

$$p=F(x|{\nu }_1,{\nu }_2)={\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\Gamma \left[\frac{({\nu }_1+{\nu }_2)}{2}\right]}{\Gamma \left(\frac{{\nu }_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{{\nu }_2}{2}\right)}}{\left(\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\right)}^{\frac{{\nu }_1}{2}}\frac{t^{\frac{{\nu }_1-2}{2}}}{{\left[1+\left(\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\right)t\right]}^{\frac{{\nu }_1+{\nu }_2}{2}}}dt$$

ν の値は自由度、Γ( · ) はガンマ関数です。結果 x は、確率 p を指定した積分方程式の解です。

詳細については、F 分布を参照してください。

代替機能

• finv は F 分布専用の関数です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、さまざまな確率分布をサポートする汎用関数 icdf もあります。icdf を使用するには、確率分布の名前とパラメーターを指定します。分布専用の関数 finv は汎用関数 icdf より高速です。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Freund, John E. Mathematical Statistics Fifth Edition. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall College Division, 1992.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

GPU 配列
Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

icdf | fcdf | fpdf | fstat | frnd | F 分布