binoinv

二項累積分布逆関数

構文

x = binoinv(y,n,p)

説明

x = binoinv(y,n,p) は、x で評価された二項累積分布関数が y 以上になる最小の整数 x を返します。p をそれぞれの試行で成功する確率としたとき、y を n 回の独立試行で x 回の成功が観測される確率と考えることができます。x の各値は n 以下の正の整数です。

例

二項分布の cdf の逆関数

試行回数が 100、各試行の成功確率が 0.6 の二項分布から値の 95% を含む区間を見つけます。

n = 100;
p = 0.6;
x = binoinv([0.025 0.975],n,p)

x = 1×2

    50    69

成功回数が 50 回以下になる確率が 2.5%、成功回数が 69 回以下になる確率が 97.5% です。言い換えると、95% の試行において成功回数が 50 ～ 69 回になります。

入力引数

y — cdf の逆関数を評価する確率値

[0,1] のスカラー値 | スカラー値の配列

cdf の逆関数 (icdf) を評価する確率値。スカラー値、または各要素が範囲 [0,1] にあるスカラー値の配列を指定します。

複数の値で icdf を評価するには、配列を使用して y を指定します。複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して n と p を指定します。入力引数 y、n および p の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、binoinv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。x の各要素は、y 内の対応する要素で評価された、n および p 内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例: [0.1,0.5,0.9]

データ型: single | double

n — 試行回数

正の整数 | 正の整数の配列

試行回数。正の整数、または正の整数の配列を指定します。

複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して n と p を指定します。入力引数 y、n および p の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、binoinv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。x の各要素は、y 内の対応する要素で評価された、n および p 内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例: [10 20 50 100]

データ型: single | double

p — 各試行の成功確率

区間 [0 1] のスカラー値 | 区間 [0 1] のスカラー値の配列

各試行の成功確率。スカラー値、またはスカラー値の配列を指定します。p のすべての値が区間 [0 1] に含まれていなければなりません。

複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用して n と p を指定します。入力引数 y、n および p の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、binoinv は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。x の各要素は、y 内の対応する要素で評価された、n および p 内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例: [0.01 0.1 0.5 0.7]

データ型: single | double

出力引数

x — icdf の値

スカラー値 | スカラー値の配列

y 内の確率値で評価した icdf の値。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。x は、必要なスカラー拡張後の y、n および p と同じサイズになります。x の各要素は、y 内の対応する要素で評価された、n および p 内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

アルゴリズム

二項累積分布関数の逆関数を近似するために、ソフトウェアではさまざまな方法が使用されます。

1. [1]で規定されている有効な条件下で、相補誤差関数を使用して漸近的な逆関数が適用されます。

2. n が 20 以上で p が 0.05 以下の値について、漸近法が適さない場合はポアソン近似が使用されます。

3. 上記のいずれの方法も適用できない場合は、1 次までで打ち切ったコーニッシュ・フィッシャー[2]展開を使用して歪度が含められます。

近似逆関数の計算後、近似値の近傍を探索することで厳密な逆関数が求められます。

参照

[1] Gil, A., J. Segura, and N. M. Temme. “Asymptotic Inversion of the Binomial and Negative Binomial Cumulative Distribution Functions.” ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis 52 (2020): 270–80, Section 3, Pg 6.

[2] Cornish, E. A., and R. A. Fisher. “Moments and Cumulants in the Specification of Distributions.” Revue de l’Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute 5, no. 4 (January 1938): 307.

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

生成コードでは、二項分布の逆関数をアルゴリズムで説明されている方法では計算しません。代わりに、増分値 x の二項 cdf を x=0 から対応する二項 cdf の値が指定値 y 以上になるまで確認することにより逆関数を評価します。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は、GPU 配列を完全にサポートします。詳細は、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2025a: 試行回数が多い二項分布の逆関数アルゴリズムのパフォーマンスが向上

binoinv 関数で、試行回数が 100 回を超える二項分布の逆 cdf を計算する際のパフォーマンスが向上しています。たとえば、次のコードにおける二項分布の逆関数の計算は、以前のリリースと比較して約 14 倍速くなっています。

function timingTest()
    nval = 500;
    pval = 0.6;
    yval = 0.6;
    x = binoinv(yval,nval,pval);
end

timeit(@timingTest)

おおよその実行時間は次のとおりです。

• R2025a: 0.0015 秒

• R2024b: 0.022 秒

このコードの時間計測は、Windows^® 11、Intel^® Xeon^® E5-1650 v3 CPU @ 3.5 GHz 搭載のテスト システムで timeit 関数を使用して行いました。

参考

icdf | binopdf | binocdf | binofit | binostat | binornd

トピック

• 二項分布