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fzero

非線形関数の根

構文

x = fzero(fun,x0)

x = fzero(fun,x0,options)

x = fzero(problem)

[x,fval,exitflag,output] = fzero(___)

説明

x = fzero(fun,x0) は、fun(x) = 0 となる点 x を探索します。この解は fun(x) の符号が変化する点です。fzero では x^2 のような関数の根を求めることはできません。

x = fzero(fun,x0,options) は options を使用して解決プロセスを変更します。

x = fzero(problem) は problem で指定される根を求める問題を解きます。

[x,fval,exitflag,output] = fzero(___) は fval 出力で fun(x) を返し、fzero が停止した理由の exitflag エンコードと、解決プロセスに関する情報を含む出力構造体を返します。

例

1 つの点から開始して求める根

3 の近傍の正弦関数のゼロ点を求めることにより $$\pi$$ を計算します。

fun = @sin; % function
x0 = 3; % initial point
x = fzero(fun,x0)

x = 3.1416

区間から開始して求める根

1 と 2 の間で余弦のゼロ点を求めます。

fun = @cos; % function
x0 = [1 2]; % initial interval
x = fzero(fun,x0)

x = 1.5708

$$\cos (1)$$ と $$\cos (2)$$ の符号が異なることに注意してください。

ファイルで定義される関数の根

関数 f(x) = x³ – 2x – 5. のゼロ点を求めます。

まず、f.m という名前のファイルを作成します。

function y = f(x)
y = x.^3-2*x-5;

MATLAB^® パス上に f.m を保存します。

2 の近傍で f(x) がゼロになる点を見つけます。

fun = @f; % function
x0 = 2; % initial point
z = fzero(fun,x0)

z =
    2.0946

f(x) は多項式なので、roots コマンドを使用して、同じ実数零点と零点の複素共役対を検出できます。

roots([1 0 -2 -5])

   ans =
   2.0946          
  -1.0473 + 1.1359i
  -1.0473 - 1.1359i

追加パラメーターをもつ関数の根

追加のパラメーターをもつ関数の根を求めます。

myfun = @(x,c) cos(c*x);  % parameterized function
c = 2;                    % parameter
fun = @(x) myfun(x,c);    % function of x alone
x = fzero(fun,0.1)

x = 0.7854

既定ではないオプション

いくつかのプロット関数を設定して、解を求めるプロセスをプロットします。

関数と初期点を定義します。

fun = @(x)sin(cosh(x));
x0 = 1;

プロット関数を含むオプションを設定して、解を求めるプロセスを調べます。

options = optimset('PlotFcns',{@optimplotx,@optimplotfval});

options を含めて fzero を実行します。

x = fzero(fun,x0,options)

x = 1.8115

問題構造体の解決

問題構造体によって定義された問題を解きます。

根を求める問題をエンコードする構造体を定義します。

problem.objective = @(x)sin(cosh(x));
problem.x0 = 1;
problem.solver = 'fzero'; % a required part of the structure
problem.options = optimset(@fzero); % default options

問題を解きます。

x = fzero(problem)

x = 1.8115

解についての詳細な情報

exp(-exp(-x)) = x となる点を見つけ、解を求めるプロセスについての情報を表示します。

fun = @(x) exp(-exp(-x)) - x; % function
x0 = [0 1]; % initial interval
options = optimset('Display','iter'); % show iterations
[x fval exitflag output] = fzero(fun,x0,options)

 
 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2               1     -0.307799        initial
    3        0.544459     0.0153522        interpolation
    4        0.566101    0.00070708        interpolation
    5        0.567143  -1.40255e-08        interpolation
    6        0.567143   1.50013e-12        interpolation
    7        0.567143             0        interpolation
 
Zero found in the interval [0, 1]

x = 0.5671

fval = 0

exitflag = 1

output = struct with fields:
    intervaliterations: 0
            iterations: 5
             funcCount: 7
             algorithm: 'bisection, interpolation'
               message: 'Zero found in the interval [0, 1]'

fval = 0 ということは、求めたとおり fun(x) = 0 であるということです。

入力引数

fun — 解を求める関数

関数ハンドル | 関数名

スカラー値関数へのハンドルとして指定された、解を求める対象の関数またはそのような関数の名前です。fun はスカラー x を受け入れ、スカラー fun(x) を返します。

fzero は fun(x) = 0 を解きます。方程式 fun(x) = c(x) を解くには、代わりに fun2(x) = fun(x) - c(x) = 0 を解きます。

関数に追加のパラメーターを含める方法については、追加パラメーターをもつ関数の根の例と追加パラメーターの受け渡しのセクションを参照してください。

例: 'sin'

例: @myFunction

例: @(x)(x-a)^5 - 3*x + a - 1

データ型: char | function_handle | string

x0 — 初期値

スカラー | 2 要素ベクトル

実数のスカラーまたは 2 要素の実数ベクトルとして指定された初期値。

• スカラー — fzero は x0 から開始し、fun(x1) の符号が fun(x0) に対し反転する点 x1 の探索を試みます。次に、fzero は反復によって fun の符号が変化する区間を縮め、解に到達します。

• 2 要素ベクトル — fzero は fun(x0(1)) と fun(x0(2)) の符号が反転することをチェックし、符号が反転していない場合にはエラーを返します。次に、反復によって fun の符号が変化する区間を縮め、解に到達します。区間 x0 は有限である必要があります。すなわち、±Inf. は含めません。

ヒント

区間 (2 つの要素をもつ x0) を伴った fzero を呼び出すと、スカラー x0 を呼び出すより高速になる場合があります。

例: 3

例: [2,17]

データ型: double

options — 求解プロセスのオプション

構造体 (通常、optimset で作成)

構造体として指定される、求解プロセスのオプション。optimset を使用して options 構造体を作成または変更します。fzero によって、これら options 構造体のフィールドが使用されます。

Display	表示レベル (反復表示を参照): 'off' — 出力を表示しない。 'iter' — 各反復の出力を表示する。 'final' — 最終出力のみを表示する。 'notify' (既定の設定) — 関数が収束しない場合にのみ出力を表示する。
FunValCheck	目的関数値が正しいかどうかチェックします。 'on' は目的関数が complex、Inf または NaN の値を返すとエラーを表示します。 既定の 'off' ではエラーを表示しません。
OutputFcn	各反復で最適化関数が呼び出すユーザー定義の関数を 1 つ以上指定します (関数ハンドルか関数ハンドルの cell 配列として)。既定の設定はなし ([]) です。詳細は、出力関数とプロット関数の構文を参照してください。
PlotFcns	アルゴリズムを実行しながら、進行状況に関するさまざまな測定値をプロットします。定義済みのプロットから選択するか、自身で記述します。関数ハンドルか、関数ハンドルの cell 配列を渡します。既定の設定はなし ([]) です。 @optimplotx は現在の点をプロットします。 @optimplotfval は関数値をプロットします。 カスタムのプロット関数は、出力関数と同じ構文を使用します。詳細は、Optimization Toolbox の出力関数と出力関数とプロット関数の構文を参照してください。
TolX	x に関する許容誤差 (正のスカラー)。既定値は eps、2.2204e-16 です。詳細は、許容誤差と停止条件を参照してください。

例: options = optimset('FunValCheck','on')

データ型: struct

problem — 根を求める問題

構造体

根を求める問題は、以下のすべてのフィールドをもつ構造体として指定されます。

objective	目的関数
x0	x の初期点、スカラーまたは 2 次元ベクトル
solver	'fzero'
options	通常は optimset を使用して作成されるオプション構造体

データ型: struct

出力引数

x — 根または符号変化の位置

実数スカラー

根または符号が変化する位置がスカラーとして返されます。

fval — x における関数値

実数スカラー

x における関数値がスカラーとして返されます。

exitflag — 終了状況をエンコードする整数

整数

終了状況、つまり fzero が反復を停止した理由をエンコードする整数。

1	関数が解 x に収束したことを示します。
-1	アルゴリズムが出力関数またはプロット関数により停止したことを示します。
-3	符号変化を含む区間の探索中に、関数値 NaN または Inf が発生したことを示します。
-4	符号変化を含む区間の探索中に複素関数値が発生したことを示します。
-5	アルゴリズムは、特異点に収束した可能性があります。
-6	fzero で符号の変化が検出されなかったことを示します。

output — 根を求めるプロセスについての情報

構造体

構造体として返される、根を求めるプロセスについての情報です。構造体のフィールドは、次のとおりです。

intervaliterations	解を含む区間を見つけるための反復数
iterations	ゼロ点を見つける反復数
funcCount	関数評価の回数
algorithm	'bisection, interpolation'
message	終了メッセージ

アルゴリズム

fzero コマンドは関数ファイルです。T. Dekker が作成したこのアルゴリズムでは、2 分法、正割および逆二次内挿法の組み合わせを使用します。いくつかの改良がなされた Algol 60 バージョンは [1] にあります。fzero が基づいている Fortran 版は [2] にあります。

代替機能

アプリ

[最適化] ライブ エディター タスクが fzero にビジュアル インターフェイスを提供します。

参照

[1] Brent, R., Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.

[2] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976.

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

C/C++ コード生成の場合:

• fun 入力引数は、構造体または文字ベクトルではなく、関数ハンドルでなければなりません。

• fzero は、TolX および FunValCheck を除くすべてのオプションを無視します。

• fzero は、4 番目の出力引数の出力構造体はサポートしていません。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

fminbnd | fsolve | optimset | roots | 最適化

トピック

• スカラー関数の根
• 追加パラメーターの受け渡し

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