fgoalattain

多目的ゴール到達問題を解く

構文

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x = fgoalattain(problem)

[x,fval] = fgoalattain(___)

[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(___)

[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(___)

説明

fgoalattain はゴール到達問題を解きます。これは多目的最適化問題を最小化するための定式化です。

fgoalattain は、以下で指定された問題の最小値を求めます。

$$\underset{x,\gamma }{\text{minimize}}\gamma \text{ such that }\{\begin{array}{c}F(x)-\text{weight}\cdot \gamma \le \text{goal}\\ c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\\ A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub.\end{array}$$

weight、goal、b および beq はベクトル、A および Aeq は行列、F(x)、c(x) および ceq(x) はベクトルを返す関数です。F(x)、c(x)、ceq(x) を非線形関数にすることもできます。

x、lb および ub はベクトルまたは行列として渡すことができます。行列引数を参照してください。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight) は weight で指定する重みで、x0 から始めて、x を変化させることによって fun で設定した目的関数が goal で指定したゴールに到達するように試みます。

メモ

追加パラメーターの受け渡し は、必要に応じて他のパラメーターを目的関数と非線形制約関数に渡す方法を説明します。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) は不等式 A*x ≤ b を制約とするゴール到達問題を解きます。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) は等式 Aeq*x = beq を制約とするゴール到達問題を解きます。不等式が存在しない場合は A = [] および b = [] と設定してください。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) は範囲 lb ≤ x ≤ ub を制約とするゴール到達問題を解きます。等式が存在しない場合には Aeq = [] と beq = [] を設定してください。x(i) が下に非有界の場合は lb(i) = -Inf を設定してください。x(i) が上に非有界の場合は ub(i) = Inf を設定してください。

メモ

詳細については、反復は制約に違反する可能性ありを参照してください。

メモ

問題の指定された入力範囲が矛盾する場合、出力 x は x0、出力 fval は [] です。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) は、nonlcon で定義された非線形不等式 c(x) または非線形等式 ceq(x) を制約とするゴール到達問題を解きます。fgoalattain は、c(x) ≤ 0 および ceq(x) = 0 の下で最適化を行います。範囲が存在しない場合は、lb = [] または ub = []、あるいはその両方を設定します。

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) は、options で指定された最適化オプションでゴール到達問題を解きます。optimoptions を使用してこれらのオプションを設定してください。

x = fgoalattain(problem) は、problemで説明されている構造体 problem に関するゴール到達問題を解きます。

[x,fval] = fgoalattain(___) は、どの構文でも、解 x での fun で計算された目的関数の値を返します。

[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(___) は上記に加え、解 x における到達因子、fgoalattain の終了条件を記述する値 exitflag、および最適化プロセスに関する情報を含む構造体 output を返します。

[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(___) は上記に加え、解 x におけるラグランジュ乗数をフィールドに含む、構造体 lambda を返します。

例

基本的なゴール到達問題

2 つの目的を持つ次の関数を考えます。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+(x-3{)}^2}{5+x^2/4}\right].$$

この関数は、$$F_1(x)$$ が $$x=3$$ で最小値 2 となり、$$F_2(x)$$ が $$x=0$$ で最小値 5 となることが明らかです。

ゴール [3,6] および重み [1,1] を設定し、x0 = 1 から始めてゴール到達問題を解きます。

fun = @(x)[2+(x-3)^2;5+x^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];
x0 = 1;
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 2.0000

解での $$F(x)$$ の値を求めます。

fun(x)

ans = 2×1

    3.0000
    6.0000

fgoalattain がゴールを正確に達成します。

線形制約を使用したゴール到達

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、線形制約は $$x_1+x_2\le 4$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

A*x <= b を表す線形制約行列 A および b を作成します。

A = [1,1];
b = 4;

初期点 [1,1] を設定し、ゴール到達問題を解きます。

x0 = [1,1];
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0694    1.9306

解での $$F(x)$$ の値を求めます。

fun(x)

ans = 2×1

    3.1484
    6.1484

fgoalattain はゴールを満たしていません。重みが等しいため、ソルバーは各ゴールに対して同じ量だけ劣到達になります。

範囲を使用したゴール到達

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、範囲は $$0\le x_1\le 3$$, $$2\le x_2\le 5$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

範囲を作成します。

lb = [0,2];
ub = [3,5];

初期点を [1,4] に設定し、ゴール到達問題を解きます。

x0 = [1,4];
A = []; % no linear constraints
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.6667    2.3333

解での $$F(x)$$ の値を求めます。

fun(x)

ans = 2×1

    2.8889
    5.8889

fgoalattain はゴールを満たし過ぎています。重みが等しいため、ソルバーは各ゴールに対して同じ量だけ過到達になります。

非線形制約を使用したゴール到達

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、非線形制約は $$\Vert x{\Vert }^2\le 4$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

非線形制約関数は norm4.m ファイルにあります。

type norm4

function [c,ceq] = norm4(x)
ceq = [];
c = norm(x)^2 - 4;

線形制約と範囲のために空の入力引数を作成します。

A = [];
Aeq = [];
b = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];

初期点を [1,1] に設定し、ゴール到達問題を解きます。

x0 = [1,1];
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@norm4)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    1.1094    1.6641

解での $$F(x)$$ の値を求めます。

fun(x)

ans = 2×1

    4.5778
    7.1991

fgoalattain はゴールを満たしていません。重みが等しいにもかかわらず、$$F_1(x)$$ は 3 というゴールから約 1.58 離れており、$$F_2(x)$$ は 6 というゴールから約 1.2 離れています。非線形制約により、解 x はゴールに等しく到達しません。

既定ではないオプションを使用したゴール到達

反復表示を返すようにオプションを設定して、ゴール到達の求解プロセスを監視します。

options = optimoptions('fgoalattain','Display','iter');

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、線形制約は $$x_1+x_2\le 4$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

A*x <= b を表す線形制約行列 A および b を作成します。

A = [1,1];
b = 4;

線形等式制約、範囲、および非線形制約のために空の入力引数を作成します。

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
nonlcon = [];

初期点 [1,1] を設定し、ゴール到達問題を解きます。

x0 = [1,1];
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

                 Attainment        Max     Line search     Directional 
 Iter F-count        factor    constraint   steplength      derivative   Procedure 
    0      4              0             4                                            
    1      9             -1           2.5            1          -0.535     
    2     14     -1.235e-08        0.2813            1           0.883     
    3     19         0.1452      0.005926            1           0.883     
    4     24         0.1484     2.868e-06            1           0.883     
    5     29         0.1484     6.757e-13            1           0.883    Hessian modified  

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0694    1.9306

報告された到達因子が正の値である場合、fgoalattain によってゴールを満たす解が見つからないことを示します。

ゴール到達での目的関数値の取得

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、線形制約は $$x_1+x_2\le 4$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

A*x <= b を表す線形制約行列 A および b を作成します。

A = [1,1];
b = 4;

初期点 [1,1] を設定し、ゴール到達問題を解きます。目的関数の値を要求します。

x0 = [1,1];
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0694    1.9306

fval = 2×1

    3.1484
    6.1484

目的関数値がゴールより大きくなっています。つまり、fgoalattain はゴールを満たしていません。

ゴール到達でのすべての出力の取得

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、重みは [1,1]、線形制約は $$x_1+x_2\le 4$$ です。

目的関数、ゴール、および重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

A*x <= b を表す線形制約行列 A および b を作成します。

A = [1,1];
b = 4;

初期点 [1,1] を設定し、ゴール到達問題を解きます。目的関数、到達因子、終了フラグ、出力構造体、およびラグランジュ乗数の値を要求します。

x0 = [1,1];
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0694    1.9306

fval = 2×1

    3.1484
    6.1484

attainfactor = 0.1484

exitflag = 4

output = struct with fields:
         iterations: 6
          funcCount: 29
       lssteplength: 1
           stepsize: 4.1023e-13
          algorithm: 'active-set'
      firstorderopt: []
    constrviolation: 6.6663e-13
            message: 'Local minimum possible. Constraints satisfied....'

lambda = struct with fields:
         lower: [2x1 double]
         upper: [2x1 double]
         eqlin: [0x1 double]
      eqnonlin: [0x1 double]
       ineqlin: 0.5394
    ineqnonlin: [0x1 double]

attainfactor が正の値である場合、ゴールに到達していないことを示します。これは、fval を goal と比較することによっても確認できます。

lambda.ineqlin の値が非ゼロです。これは、線形不等式によって解が制約を受けていることを示します。

ゴール到達での重み、ゴール、および制約の影響

目的関数は次のとおりです。

$$F(x)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2+\Vert x-p_1{\Vert }^2}{5+\Vert x-p_2{\Vert }^2/4}\right].$$

ここで、p_1 = [2,3] および p_2 = [4,1] です。ゴールは [3,6]、初期重みは [1,1] です。

目的関数、ゴール、および初期重みを作成します。

p_1 = [2,3];
p_2 = [4,1];
fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4];
goal = [3,6];
weight = [1,1];

線形制約 $$x_1+x_2\le 4$$ を設定します。

A = [1 1];
b = 4;

点 x0 = [1 1] から始めてゴール到達問題を解きます。

x0 = [1 1];
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0694    1.9306

fval = 2×1

    3.1484
    6.1484

fval の各成分が goal の対応する成分より大きくなっています。これは、ゴールに到達していないことを示します。

weight(1) をより小さい値に設定して、最初のゴールを満たす重要度を高めます。

weight(1) = 1/10;
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0115    1.9885

fval = 2×1

    3.0233
    6.2328

fval(1) の値は goal(1) にかなり近くなっていますが、fval(2) は goal(2) から離れています。

goal(2) を、現在の解より大きい 7 に変更します。解が変化します。

goal(2) = 7;
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    1.9639    2.0361

fval = 2×1

    2.9305
    6.3047

fval の両方の成分が goal の対応する成分より小さくなっています。しかし、fval(2) と goal(2) に比べて、fval(1) と goal(1) はかなり近くなっています。重みを小さくすると、ゴールに到達できない場合にはその成分がほぼ満たされる可能性が高くなり、ゴールに到達できる場合には過到達の程度が低くなります。

重みが等しくなるように変更します。fval の結果は、ゴールからの距離が等しくなります。

weight(2) = 1/10;
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    1.7613    2.2387

fval = 2×1

    2.6365
    6.6365

制約によって、結果として得られる fval がゴールに等しく近くならないことがあります。たとえば、x(2) の上限を 2 に設定します。

ub = [Inf,2];
lb = [];
Aeq = [];
beq = [];
[x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    2.0000    2.0000

fval = 2×1

    3.0000
    6.2500

この場合、fval(1) はそのゴールを正確に満たしますが、fval(2) はゴールより小さくなります。

入力引数

fun — 目的関数

関数ハンドル | 関数名

目的関数。関数ハンドルまたは関数名として指定します。fun は、ベクトル x を受け入れ、ベクトル F (x で評価される目的関数) を返す関数です。関数 fun は関数ファイルの関数ハンドルとして指定することができます。

x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight)

ここで myfun は次のような MATLAB^® 関数です。

function F = myfun(x)
F = ...         % Compute function values at x.

fun は無名関数の関数ハンドルにもなります。

x = fgoalattain(@(x)sin(x.*x),x0,goal,weight);

fgoalattain は、目的関数および任意の非線形制約関数に x0 引数の形式で x を渡します。たとえば、x0 が 5 行 3 列の配列の場合、fgoalattain は 5 行 3 列の配列として x を fun に渡します。ただし、fgoalattain は、x を列ベクトル x(:) に変換してから、線形制約行列 A または Aeq を x と乗算します。

目的関数を可能な限りゴールに近づけるには (すなわち、大きくもなく小さくもなくするには) optimoptions を使用して EqualityGoalCount オプションをゴール値の近傍にあることが必要な目的関数の数に設定してください。このような目的関数を fun が返すベクトル F の最初の要素に割り当て "なければなりません"。

また目的関数の勾配を計算することもでき、"さらに" 次のように SpecifyObjectiveGradient オプションが true であるとします。

options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyObjectiveGradient',true)

この場合、関数 fun は 2 番目の出力引数に x での勾配値 G (行列) を返さなければなりません。勾配は点 x における各 F の偏導関数 dF/dx です。F が長さ m のベクトルであり、x の長さが n で、n が x0 の長さである場合、F(x) の勾配 G は n 行 m 列の行列です。ここで G(i,j) は F(j) の x(i) に関する偏導関数です (すなわち、G の第 j 番目の列が j 番目の目的関数 F(j) の勾配です)。

メモ

SpecifyObjectiveGradient を true に設定することは、問題に非線形制約がない場合と、問題の非線形制約の SpecifyConstraintGradient が true の場合のみ有効です。内部的に目的関数が制約に含まれるため、ソルバーは、勾配推定を避けるために両方の勾配 (目的関数と制約) が指定されていることを必要とします。

データ型: char | string | function_handle

x0 — 初期点

実数ベクトル | 実数配列

初期点。実数ベクトルまたは実数配列として指定されます。ソルバーは、x0 の要素数および x0 のサイズを使用して、fun が受け入れる変数の数およびサイズを決定します。

例: x0 = [1,2,3,4]

データ型: double

goal — 到達するゴール

実数ベクトル

到達するゴール。実数ベクトルとして指定します。fgoalattain は、解 x で i のすべての値に対してこれらの不等式を満足する最小乗数 γ を求めようとします。

$$F_i(x)-{\text{goal}}_i\le {\text{weight}}_i\gamma .$$

weight が正のベクトルであると仮定します。

• ソルバーによってすべてのゴールに同時に到達する点 x が見つかる場合、到達因子 γ は負であり、ゴールは過到達になります。

• ソルバーによってすべてのゴールに同時に到達する点 x が見つからない場合、到達因子 γ は正であり、ゴールは劣到達になります。

例: [1 3 6]

データ型: double

weight — 相対到達因子

実数ベクトル

相対到達因子。実数ベクトルとして指定します。fgoalattain は、解 x で i のすべての値に対してこれらの不等式を満足する最小乗数 γ を求めようとします。

$$F_i(x)-{\text{goal}}_i\le {\text{weight}}_i\gamma .$$

goal の値が "すべて非ゼロ" であるとき、有効な目的関数の劣到達または過到達が同じ割合になるように、weight を abs(goal) に設定してください (アクティブな目的関数は、解におけるゴールのさらなる改良に対する障害になる目的関数の集合です)。

メモ:

weight ベクトルの成分をゼロへ設定すると、ゴール制約としてではなく厳しい制約として、対応するゴール到達は処理されます。厳しい制約を設定する代わりの方法は、入力引数 nonlcon を使用することです。

weight が正であるとき、fgoalattain は目的関数がゴール値より小さくなるようにします。目的関数がゴール値より大きくなるようにするには、weight を正ではなく負に設定してください。重みが解に与えるいくつかの影響については、ゴール到達での重み、ゴール、および制約の影響を参照してください。

目的関数が可能な限りゴール値に近づくようにするには、EqualityGoalCount オプションを使用して、この目的関数を fun が返すベクトルの最初の要素として指定してください (fun および options を参照)。例については、多目的ゴール到達の最適化を参照してください。

例: abs(goal)

データ型: double

A — 線形不等式制約

実数行列

実数行列として指定される線形不等式制約です。A は M 行 N 列の行列で、M は不等式の数、N は変数の数 (x0 の要素数) です。大規模な問題の場合は、A をスパース行列として渡します。

A は M 個の線形不等式を符号化します。

A*x <= b,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、b は M 個の要素をもつ列ベクトルです。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30,

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

例: x の成分の和が 1 以下であることを指定するには、A = ones(1,N) と b = 1 を使用します。

データ型: double

b — 線形不等式制約

実数ベクトル

実数ベクトルで指定される線形不等式制約です。b は、行列 A に関連する M 要素ベクトルです。b を行ベクトルとして渡す場合、ソルバーは b を列ベクトル b(:) に内部的に変換します。大規模な問題の場合は、b をスパース ベクトルとして渡します。

b は M 個の線形不等式を符号化します。

A*x <= b,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、A は M 行 N 列の行列です。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30.

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

例: x の成分の和が 1 以下であることを指定するには、A = ones(1,N) と b = 1 を使用します。

データ型: double

Aeq — 線形等式制約

実数行列

実数行列として指定される線形等式制約です。Aeq は Me 行 N 列の行列で、Me は等式の数、N は変数の数 (x0 の要素数) です。大規模な問題の場合は、Aeq をスパース行列として渡します。

Aeq は Me 個の線形等式を符号化します。

Aeq*x = beq,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、beq は Me 個の要素をもつ列ベクトルです。

たとえば、次の不等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20,

次の制約を入力することによって、不等式を指定します。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

例: x の成分の和が 1 であることを指定するには、Aeq = ones(1,N) と beq = 1 を使用します。

データ型: double

beq — 線形等式制約

実数ベクトル

実数ベクトルで指定される線形等式制約です。beq は、行列 Aeq に関連する Me 要素ベクトルです。beq を行ベクトルとして渡す場合、ソルバーは beq を列ベクトル beq(:) に内部的に変換します。大規模な問題の場合は、beq をスパース ベクトルとして渡します。

beq は Me 個の線形等式を符号化します。

Aeq*x = beq,

ここで、x は N 個の変数 x(:) の列ベクトル、Aeq は Me 行 N 列の行列です。

たとえば、次の等式を考えてみましょう。

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20.

次の制約を入力することによって、等式を指定します。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

例: x の成分の和が 1 であることを指定するには、Aeq = ones(1,N) と beq = 1 を使用します。

データ型: double

lb — 下限

実数ベクトル | 実数配列

下限。実数ベクトルまたは実数配列として指定されます。x0 の要素数と lb の要素数が等しい場合、lb は次を指定します。

x(i) >= lb(i) (すべての i について)

numel(lb) < numel(x0) の場合、lb は次を指定します。

x(i) >= lb(i) (1 <= i <= numel(lb))

lb の要素数が x0 より少ない場合、ソルバーは警告を生成します。

例: x のすべての成分が正であることを指定するには、lb = zeros(size(x0)) を使用します。

データ型: double

ub — 上限

実数ベクトル | 実数配列

実数ベクトルまたは実数配列として指定される上限です。x0 の要素数と ub の要素数が等しい場合、ub は次を指定します。

x(i) <= ub(i) (すべての i について)

numel(ub) < numel(x0) の場合、ub は次を指定します。

x(i) <= ub(i) (1 <= i <= numel(ub))

ub の要素数が x0 より少ない場合、ソルバーは警告を生成します。

例: x のすべての成分が 1 未満であることを指定するには、ub = ones(size(x0)) を使用します。

データ型: double

nonlcon — 非線形制約

関数ハンドル | 関数名

非線形制約。関数ハンドルまたは関数名として指定されます。nonlcon は、ベクトルまたは配列 x を受け、2 つの配列 c(x) および ceq(x) を返す関数です。

• c(x) は、x での非線形不等式制約の配列です。fgoalattain は次の条件を満たそうとします。

  c(x) <= 0 for all entries of c.

• ceq(x) は、x での非線形等式制約の配列です。fgoalattain は次の条件を満たそうとします。

  ceq(x) = 0 for all entries of ceq.

たとえば、

x = fgoalattain(@myfun,x0,...,@mycon)

ここで mycon は次のような MATLAB 関数です。

function [c,ceq] = mycon(x)
c = ...     % Compute nonlinear inequalities at x.
ceq = ...   % Compute nonlinear equalities at x.

また制約関数の勾配を計算することができ、"さらに" 次のように SpecifyConstraintGradient オプションが true であるとします。

options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyConstraintGradient',true)

この場合、関数 nonlcon は 3 番目および 4 番目の出力引数に c(x) の勾配 GC および ceq(x) の勾配 GCeq を返さなければなりません。与えられた勾配を受け付けないソルバーに使用する勾配を条件付ける方法の説明は、非線形制約を参照してください。

nonlcon が m 成分のベクトル c を返し、x の長さが n で、n が x0 の長さである場合、c(x) の勾配 GC は n 行 m 列の行列です。ここで GC(i,j) は c(j) の x(i) に関する偏導関数です (すなわち、GC の第 j 列が j 番目の不等式制約 c(j) の勾配です)。ceq が p 個の成分をもち、ceq(x) の勾配 GCeq が n 行 p 列の行列である場合も同様です。このとき、GCeq(i,j) は ceq(j) の x(i) に関する偏導関数です (すなわち、GCeq の第 j 列が j 番目の等式制約 ceq(j) の勾配です)。

メモ

SpecifyConstraintGradient の true への設定は SpecifyObjectiveGradient が true に設定されている場合のみ効果的です。内部的に目的関数が制約に含まれるため、ソルバーは、勾配推定を避けるために両方の勾配 (目的関数と制約) が指定されていることを必要とします。

メモ:

Optimization Toolbox™ の関数が double 型の入力のみを受け入れるため、ユーザーが指定した目的関数と非線形制約関数は double 型の出力を返さなければなりません。

必要に応じて非線形制約関数 nonlcon をパラメーター化する方法については、追加パラメーターの受け渡しを参照してください。

データ型: char | function_handle | string

options — 最適化オプション

optimoptions の出力 | optimset などによって返される構造体

最適化オプション。optimoptions の出力、または optimset などによって返される構造体として指定されます。

一部のオプションは、optimoptions に表示されません。このようなオプションは、次の表ではイタリックで示されています。詳細については、最適化オプションの表示を参照してください。

optimset の名前が異なるオプションの詳細については、新旧のオプション名を参照してください。

オプション	説明
ConstraintTolerance	制約違反に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は 1e-6 です。詳細については、許容誤差と停止条件を参照してください。 optimset の場合、名前は TolCon です。
Diagnostics	最小化または求解する関数に関する情報を表示します。選択肢は 'on' または 'off' (既定の設定) です。
DiffMaxChange	有限差分勾配を計算する場合に変数内で生じる最大変化量です (正のスカラー)。既定値は Inf です。
DiffMinChange	有限差分勾配を計算する場合に変数内で生じる最小変化量です (正のスカラー)。既定値は 0 です。
Display	表示レベル (反復表示を参照): 'off' または 'none' — 出力を表示しない。 'iter' — 各反復の出力を表示し、既定の終了メッセージを与える。 'iter-detailed' — 各反復の出力を表示し、技術的な終了メッセージを与える。 'notify' — 関数が収束しない場合にのみ出力を表示し、既定の終了メッセージを与える。 'notify-detailed' — 関数が収束しない場合にのみ出力を表示し、技術的な終了メッセージを与える。 'final' (既定の設定) — 最終出力のみを表示し、既定の終了メッセージを与える。 'final-detailed' — 最終出力のみを表示し、技術的な終了メッセージを与える。
EqualityGoalCount	目的関数 fun がゴール goal (非負の整数) と等しくなるために必要な目的関数の数。目的関数は F の最初の数要素に割り当てなければなりません。既定値は 0 です。例については、多目的ゴール到達の最適化を参照してください。 optimset の場合、名前は GoalsExactAchieve です。
FiniteDifferenceStepSize	有限差分のスカラーまたはベクトルのステップ サイズ ファクター。FiniteDifferenceStepSize をベクトル v に設定すると、前方有限差分 delta は delta = v.*sign′(x).*max(abs(x),TypicalX); ここで、sign′(0) = 1 を除き sign′(x) = sign(x) です。中心有限差分法では delta = v.*max(abs(x),TypicalX); スカラー FiniteDifferenceStepSize はベクトルに拡張します。既定値は、前進有限差分法では sqrt(eps)、中心有限差分法では eps^(1/3) です。 optimset の場合、名前は FinDiffRelStep です。
FiniteDifferenceType	勾配推定に使用される有限差分のタイプは 'forward' (既定の設定) または 'central' (中心) のいずれかです。'central' では 2 倍の関数評価が必要になりますが、一般的に正確性が増します。 アルゴリズムは有限差分の両方のタイプを推定するとき、範囲に注意深く従います。たとえば、forward ステップではなく、backward ステップを選択すると、範囲外の点を計算しないようにすることができます。 optimset の場合、名前は FinDiffType です。
FunctionTolerance	関数値に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は 1e-6 です。詳細については、許容誤差と停止条件を参照してください。 optimset の場合、名前は TolFun です。
FunValCheck	目的関数値と制約値が有効であるかどうかをチェックします。'on' は目的関数または制約が complex、Inf、または NaN の値を返した場合にエラーを表示します。既定の 'off' ではエラーを表示しません。
MaxFunctionEvaluations	関数評価の最大許容回数 (非負の整数)。既定値は 100*numberOfVariables です。詳細については、許容誤差と停止条件と反復と関数カウントを参照してください。 optimset の場合、名前は MaxFunEvals です。
MaxIterations	反復の最大許容回数 (非負の整数)。既定値は 400 です。詳細については、許容誤差と停止条件と反復と関数カウントを参照してください。 optimset の場合、名前は MaxIter です。
MaxSQPIter	SQP 反復の最大数 (正の整数)。既定値は 10*max(numberOfVariables, numberOfInequalities + numberOfBounds) です。
MeritFunction	このオプションを 'multiobj' (既定の設定) に設定した場合、ゴール到達メリット関数を使用します。このオプションを 'singleobj' に設定した場合、メリット関数 fmincon を使用します。
OptimalityTolerance	1 次の最適性に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は 1e-6 です。詳細については、1 次の最適性の尺度を参照してください。 optimset の場合、名前は TolFun です。
OutputFcn	各反復で最適化関数が呼び出す 1 つ以上のユーザー定義の関数。関数ハンドルか、関数ハンドルの cell 配列を渡します。既定の設定はなし ([]) です。詳細については、出力関数とプロット関数の構文を参照してください。
PlotFcn	アルゴリズム実行時における、進行状態の各種測定値を示すプロット。定義済みのプロットから選択するか、自身で記述します。名前、関数ハンドル、または名前か関数ハンドルの cell 配列を渡します。カスタム プロット関数の場合は、関数ハンドルを渡します。既定の設定はなし ([]) です。 'optimplotx' は現在の点をプロットします。 'optimplotfunccount' は関数カウントをプロットします。 'optimplotfval' は目的関数値をプロットします。 'optimplotconstrviolation' は最大制約違反をプロットします。 'optimplotstepsize' はステップ サイズをプロットします。 カスタムのプロット関数は、出力関数と同じ構文を使用します。詳細については、Optimization Toolbox の出力関数と出力関数とプロット関数の構文を参照してください。 optimset の場合、名前は PlotFcns です。
RelLineSrchBnd	x の変位合計が |Δx(i)| ≤ relLineSrchBnd· max(|x(i)|,|typicalx(i)|) を満たすような、直線探索ステップ長の相対範囲 (実数の非負のスカラー値)。このオプションはソルバーが大きすぎるステップをとった場合に、x の変位の大きさをコントロールします。既定の設定はなし ([]) です。
RelLineSrchBndDuration	RelLineSrchBnd で範囲を指定された反復数が有効になります。既定値は 1 です。
SpecifyConstraintGradient	ユーザーにより定義される非線形制約関数に対する勾配。nonlcon で説明されているように、このオプションが true に設定されている場合、fgoalattain では制約関数に 4 つの出力を求めるようになります。このオプションを false (既定の設定) に設定すると、fgoalattain は有限差分を使用して非線形制約の勾配を推定します。 optimset の場合、名前は GradConstr で、値は 'on' または 'off' です。
SpecifyObjectiveGradient	ユーザーが定義する目的関数の勾配。勾配の定義方法については、fun の説明を参照してください。このオプションを true に設定すると、fgoalattain は目的関数のユーザー定義の勾配を使用します。既定の false の場合、fgoalattain は有限差分を使用して勾配を推定します。 optimset の場合、名前は GradObj で、値は 'on' または 'off' です。
StepTolerance	x に関する終了許容誤差 (非負のスカラー)。既定値は 1e-6 です。詳細については、許容誤差と停止条件を参照してください。 optimset の場合、名前は TolX です。
TolConSQP	内部反復 SQP 制約違反に関する終了許容誤差 (正のスカラー)。既定値は 1e-6 です。
TypicalX	典型的な x の値です。TypicalX の要素数は、開始点 x0 の要素数と等しくなります。既定値は ones(numberofvariables,1) です。関数 fgoalattain は TypicalX を使用して勾配推定の有限差分をスケーリングします。
UseParallel	並列計算の指標。true の場合、fgoalattain は並列で勾配を推定します。既定値は false です。詳細については、並列計算を参照してください。

例: optimoptions('fgoalattain','PlotFcn','optimplotfval')

problem — 問題構造体

構造体

問題構造体。次の表のフィールドをもつ構造体として指定します。

フィールド名	エントリ
objective	目的関数 fun
x0	x の初期点
goal	到達するゴール
weight	相対的に重要なゴール因子
Aineq	線形不等式制約の行列
bineq	線形不等式制約のベクトル
Aeq	線形等式制約の行列
beq	線形等式制約のベクトル
lb	下限のベクトル
ub	上限のベクトル
nonlcon	非線形制約関数
solver	'fgoalattain'
options	optimoptions で作成されたオプション

problem 構造体では、少なくとも objective、x0、goal、weight、solver、および options フィールドを指定しなければなりません。

データ型: struct

出力引数

x — 解

実数ベクトル | 実数配列

実数ベクトルまたは実数配列として返される解です。x のサイズは、x0 のサイズと同じです。通常、exitflag が正の場合、x は問題に対する局所的な解になります。解の質の詳細については、ソルバーが成功する場合を参照してください。

fval — 解での目的関数値

実数配列

解での目的関数値。実数配列として返されます。一般的に、fval = fun(x) になります。

attainfactor — 到達因子

実数

到達因子。実数として返されます。attainfactor は解での γ の値を含みます。attainfactor が負である場合、ゴールは過到達になります。attainfactor が正である場合、ゴールは劣到達になります。詳細については、goal を参照してください。

exitflag — fgoalattain の停止理由

整数

fgoalattain の停止理由。整数として返されます。

1	関数が解 x に収束したことを示します。
4	探索方向の大きさが指定した許容誤差より小さく、制約違反が options.ConstraintTolerance より小さいことを示します。
5	方向導関数の大きさが指定した許容誤差より小さく、制約違反が options.ConstraintTolerance より小さいことを示します。
0	反復回数が options.MaxIterations を超過、または関数評価の回数が options.MaxFunctionEvaluations を超過しています。
-1	出力関数またはプロット関数によって停止したことを示します。
-2	実行可能な点が見つかりません。

output — 最適化プロセスに関する情報

構造体

最適化プロセスに関する情報。次の表のフィールドをもつ構造体として返されます。

iterations	実行した反復回数
funcCount	関数評価の回数
lssteplength	探索方向に対する直線探索ステップのサイズ
constrviolation	制約関数の最大値
stepsize	x の最終ステップ サイズ
algorithm	使用される最適化アルゴリズム
firstorderopt	1 次の最適性の尺度
message	終了メッセージ

lambda — 解におけるラグランジュ乗数

構造体

解におけるラグランジュ乗数。次の表のフィールドをもつ構造体として返されます。

lower	lb に対応する下限
upper	ub に対応する上限
ineqlin	A および b に対応する線形不等式
eqlin	Aeq および beq に対応する線形等式
ineqnonlin	nonlcon の c に対応する非線形不等式
eqnonlin	nonlcon の ceq に対応する非線形等式

アルゴリズム

fgoalattain アルゴリズムの説明およびゴール到達の概念の詳細については、アルゴリズムを参照してください。

代替機能

アプリ

[最適化] ライブ エディター タスクが fgoalattain にビジュアル インターフェイスを提供します。

拡張機能

自動並列サポート

Parallel Computing Toolbox™ を使用して自動的に並列計算を実行することで、コードを高速化します。

並列実行するには、'UseParallel' オプションを true に設定します。

options = optimoptions('solvername','UseParallel',true)

詳細については、Optimization Toolbox での並列計算の使用を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

fmincon | fminimax | optimoptions | 最適化

トピック

• 多目的ゴール到達の最適化
• パレート フロントの生成とプロット
• 関数ハンドルの作成
• 多目的最適化