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besseli

第 1 種変形ベッセル関数

構文

I = besseli(nu,Z)

I = besseli(nu,Z,scale)

説明

I = besseli(nu,Z) は、配列 Z の各要素について第 1 種変形ベッセル関数 I_ν(z) を計算します。

I = besseli(nu,Z,scale) は、オーバーフローまたは精度の低下を防ぐために第 1 種変形ベッセル関数を指数的にスケーリングするかどうかを指定します。scale が 1 の場合、besseli の出力は係数 exp(-abs(real(Z))) でスケーリングされます。

例

第 1 種変形ベッセル関数のプロット

領域を定義します。

z = 0:0.01:5;

最初の 5 つの第 1 種変形ベッセル関数を計算します。I の各行には、z の各点で評価された関数の 1 つの次数の値が含まれます。

I = zeros(5,501);
for nu = 0:4
    I(nu+1,:) = besseli(nu,z);
end

すべての関数を同じ Figure にプロットします。

plot(z,I)
axis([0 5 0 8])
grid on
legend('I_0','I_1','I_2','I_3','I_4','Location','NorthWest')
title('Modified Bessel Functions of the First Kind for $\nu \in [0,4]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$I_\nu(z)$','interpreter','latex')

指数的にスケーリングされた変形ベッセル関数の計算

区間 $\left[0,20\right]$ の $\mathit{z}$ 値と 0 ～ 3 の次数 $\nu$ について、スケーリングされた第 1 種変形ベッセル関数 ${\mathit{I}}_{\nu }\left(\mathit{z}\right)\cdot {\mathit{e}}^{-\left|\mathrm{Re}\left[\mathit{Z}\right]\right|}$ を計算します。

z = linspace(0,20);
scale = 1;
Is = zeros(4,100);
for nu = 0:3
  Is(nu+1,:) = besseli(nu,z,scale);
end

すべての関数を同じ Figure にプロットします。$\mathit{z}$ の値が大きい場合、スケーリングされた関数は倍精度の範囲からオーバーフローせず、スケーリングされていない関数と比べて計算可能な範囲が大きくなります。

plot(z,Is)
legend('I_0','I_1','I_2','I_3')
title('Scaled Mod. Bessel Functions of the First Kind for $\nu \in \left[0, 3 \right]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$e^{-|{z}|} \cdot I_\nu(z)$','interpreter','latex')

入力引数

nu — 方程式の次数

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

方程式の次数。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。nu は第 1 種変形ベッセル関数の次数を指定する実数です。nu と Z は同じサイズでなければなりませんが、いずれかをスカラーにすることもできます。

例: besseli(3,Z)

データ型: single | double

Z — 関数の定義域

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

関数の定義域。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。besseli は Z が正の場合に実数になります。nu と Z は同じサイズでなければなりませんが、いずれかをスカラーにすることもできます。

例: besseli(nu,[1-1i 1+0i 1+1i])

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

scale — スケーリング関数への切り替え

0 (既定値) | 1

スケーリング関数に切り替えるかどうか。次の値のいずれかとして指定します。

• 0 (既定) — スケーリングなし

• 1 — besseli の出力を exp(-abs(real(Z))) でスケーリング

besseli の大きさは、abs(real(Z)) の値の増加に伴い急速に大きくなります。そのため、abs(real(Z)) の値が大きい場合、出力の指数的なスケーリングが役立ちます。そうしないと、結果の精度が急速に低下したり、倍精度の範囲からオーバーフローします。

例: besseli(nu,Z,1)

詳細

変形ベッセル関数

次の微分方程式 (ν は実定数) は "変形ベッセル方程式" と呼ばれています。

$$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}-\left(z^2+{\nu }^2\right)y=0.$$

その解は "変形ベッセル関数" として知られています。

"第 1 種変形ベッセル関数" は I_ν(z) および I_–ν(z) で表され、変形ベッセル方程式の基本解を形成します。I_ν(z) は次で定義されます。

$$I_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }{\displaystyle \sum }_{(k=0)}^{\infty }\frac{{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k}{k!\Gamma (\nu +k+1)}.$$

"第 2 種変形ベッセル関数" は K_ν(z) で表され、次で与えられる第 2 種の解 (I_ν(z) とは独立) を形成します。

$$K_{\nu }(z)=\left(\frac{\pi }{2}\right)\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}.$$

第 2 種変形ベッセル関数は besselk を使用して計算できます。

参照

[1] Amos, D. E. “Algorithm 644: A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order.” ACM Transactions on Mathematical Software 12, no. 3 (September 1986): 265–273. https://dl.acm.org/doi/10.1145/7921.214331.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

besseli 関数は tall 配列を完全にサポートしています。詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 常に複素数の結果を返します。

• 厳密な単精度計算はサポートされていません。生成されたコードでは、単精度入力で単精度出力が生成されます。ただし、関数内の変数は倍精度である可能性があります。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 常に複素数の結果を返します。

• 厳密な単精度計算はサポートされていません。生成されたコードでは、単精度入力で単精度出力が生成されます。ただし、関数内の変数は倍精度である可能性があります。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

besseli 関数は GPU 配列入力をサポートしますが、次の使用上の注意および制限があります。

• 次数 nu は、非負の実数値でなければなりません。

• 引数 Z は、非負の実数値でなければなりません。

詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

airy | besselh | besselj | besselk | bessely