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paretosearch
パレート セット内の点の検出
構文
説明
例
2 次元変数の 2 つの目的関数のパレート フロント上の点を見つけます。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
解を散布図としてプロットします。
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
理論的には、この問題の解は [-2,-1] から [1,2] への直線です。paretosearch は、この直線に近い等間隔の点を返します。
線形制約 x(1) + x(2) <= 1 に従う 2 次元の 2 目的問題のパレート フロントを作成します。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = 1; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,A,b);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
解を散布図としてプロットします。
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
理論的には、この問題の解は [-2,-1] から [0,1] への直線です。paretosearch は、この直線に近い等間隔の点を返します。
境界 x(1) >= 0 および x(2) <= 1 に従って、2 次元の 2 つの目的の問題のパレート フロントを作成します。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [0,-Inf]; % x(1) >= 0 ub = [Inf,1]; % x(2) <= 1 rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
解を散布図としてプロットします。
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
すべての解点は制約境界 x(1) = 0 または x(2) = 1 上にあります。
境界 -1.1 <= x(i) <= 1.1 と非線形制約 norm(x)^2 <= 1.2 に従う 2 次元の 2 目的問題のパレート フロントを作成します。非線形制約関数はこの例の最後に表示され、この例をライブ スクリプトとして実行すると機能します。それ以外の場合この例を実行するには、非線形制約関数を MATLAB ® パス上のファイルとして含めます。
非線形制約の効果をよりよく確認するには、大きなパレート セット サイズを使用するようにオプションを設定します。
rng default % For reproducibility fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-1.1,-1.1]; ub = [1.1,1.1]; options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetSize',200); x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,@circlecons,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
解を散布図としてプロットします。円形制約境界のプロットを含めます。
figure plot(x(:,1),x(:,2),'k*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold on rectangle('Position',[-1.2 -1.2 2.4 2.4],'Curvature',1,'EdgeColor','r') xlim([-1.2,0.5]) ylim([-0.5,1.2]) axis square hold off
正の x(1) 値または負の x(2) 値を持つ解点は、非線形制約境界に近くなります。
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
paretosearch の進行状況を監視するには、'psplotparetof' プロット関数を指定します。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn','psplotparetof'); lb = [-4,-4]; ub = -lb; x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
解は半径 18 の 1/4 円弧のように見え、解析解であることが示されます。
x と fval の両方の出力を使用して paretosearch を呼び出すことにより、関数空間とパラメーター空間の両方でパレート フロントを取得します。関数空間とパラメーター空間の両方でパレート集合をプロットするためのオプションを設定します。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); rng default % For reproducibility [x,fval] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
目的関数空間における解析解は、半径 18 の 1/4 円弧です。パラメーター空間では、解析解は [-2,-1] から [1,2] までの直線になります。解点は分析曲線に近くなります。
パレート集合の解決プロセスを監視するためのオプションを設定します。また、解決プロセスを理解できるように、paretosearch からさらに多くの出力を取得します。
options = optimoptions('paretosearch','Display','iter',... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; rng default % For reproducibility [x,fval,exitflag,output] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Iter F-count NumSolutions Spread Volume 0 60 11 - 3.7872e+02 1 386 12 7.6126e-01 3.4654e+02 2 702 27 9.5232e-01 2.9452e+02 3 1029 27 6.6332e-02 2.9904e+02 4 1357 36 1.3874e-01 3.0070e+02 5 1690 37 1.5379e-01 3.0200e+02 6 2014 50 1.7828e-01 3.0252e+02 7 2214 59 1.8536e-01 3.0320e+02 8 2344 60 1.9435e-01 3.0361e+02 9 2464 60 2.1055e-01 3.0388e+02 Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
追加の出力を調べます。
fprintf('Exit flag %d.\n',exitflag)Exit flag 1.
disp(output)
iterations: 10
funccount: 2464
volume: 303.6076
averagedistance: 0.0250
spread: 0.2105
maxconstraint: 0
message: 'Pareto set found that satisfies the constraints. ↵↵Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set ↵is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within ↵'options.ConstraintTolerance'.'
rngstate: [1×1 struct]
パレート フロント制約残差を取得して調べます。線形不等式制約 sum(x) <= -1/2 と非線形不等式制約 norm(x)^2 <= 1.2 を使用して問題を作成します。精度を上げるには、パレート フロントに 200 個のポイントを使用し、1e-7 の ParetoSetChangeTolerance を使用し、自然な境界を -1.2 <= x(i) <= 1.2 にします。
非線形制約関数はこの例の最後に表示され、この例をライブ スクリプトとして実行すると機能します。それ以外の場合この例を実行するには、非線形制約関数を MATLAB ® パス上のファイルとして含めます。
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = -1/2; lb = [-1.2,-1.2]; ub = -lb; nonlcon = @circlecons; rng default % For reproducibility options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetChangeTolerance',1e-7,... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'},'ParetoSetSize',200);
すべての出力を使用して paretosearch を呼び出します。
[x,fval,exitflag,output,residuals] = paretosearch(fun,2,A,b,[],[],lb,ub,nonlcon,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
不等式制約により、制約のない集合と比較してパレート集合のサイズが縮小されます。返された残差を調べます。
fprintf('The maximum linear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqlin))The maximum linear inequality constraint residual is 0.000000.
fprintf('The maximum nonlinear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqnonlin))The maximum nonlinear inequality constraint residual is -0.000537.
返される残差の最大値は負であり、返されるポイントはすべて実行可能であることを意味します。返される残差の最大値はゼロに近いため、一部のポイントでは各制約がアクティブであることを意味します。
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
入力引数
出力引数
詳細
アルゴリズム
paretosearch はパターン探索を使用して、パレート フロント上の点を探索します。詳細は、paretosearch アルゴリズムを参照してください。
代替機能
アプリ
[最適化] ライブ エディター タスクが paretosearch にビジュアル インターフェイスを提供します。
拡張機能
バージョン履歴
R2018b で導入
