GlobalSearch および MultiStart の出力関数

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出力関数とは何ですか?

出力関数を使用すると、最適化の中間結果を調べることができます。さらに、ソルバーをプログラムで停止することもできます。

2 種類の出力構造と同様に、出力関数にも 2 種類あります。

グローバル出力関数は、各ローカルソルバーの実行後に実行されます。これらは、グローバルソルバーの開始時と終了時にも実行されます。
ローカル出力関数は、ローカルソルバーの各反復後に実行されます。Optimization Toolbox の出力関数を参照してください。

グローバル出力関数を使用するには:

出力関数で説明されている構文を使用して出力関数を記述します。
GlobalSearch または MultiStart ソルバーの OutputFcn プロパティを出力関数の関数ハンドルに設定します。OutputFcn プロパティを関数ハンドルのセル配列に設定することで、複数の出力関数を使用できます。

組み込みの @savelocalsolutions 出力関数は、すべてのローカルソリューションをベースワークスペースの localSolTable 変数に保存します。この出力関数は、実行可能なローカルソリューションだけでなく実行不可能なローカルソリューションも保存します。run の solutions 出力は、終了フラグが正のローカルソリューションのみを返します。

すべてのローカルソリューションを収集

この例では、savelocalsolutions 出力関数を MultiStart と共に使用して、実行中に見つかったすべてのローカルソリューションを収集する方法を示します。まず、 MultiStart の出力関数として savelocalsolutions を指定します。

ms = MultiStart(OutputFcn=@savelocalsolutions);

この例の最後にある補助関数にリストされている bigtoleft 目的関数と twocone 非線形制約関数を使用して、MultiStart の 3 つの変数の問題を作成します。各成分の下限を – 1e5 に設定し、上限を 1e5 に設定します。この目的関数と非線形制約関数の詳細については、解析的ヘッシアンを使用した fmincon の内点法アルゴリズムを参照してください。

fun = @bigtoleft;
lb = -1e5*ones(1,3);
ub = -lb;

目的関数と制約関数には導関数情報が含まれます。導関数を使用するためのオプションを設定します。

opts = optimoptions(@fmincon,SpecifyObjectiveGradient=true,...
    SpecifyConstraintGradient=true);

初期点を[–10,–10,–10]に設定し、最適化問題を作成します。

x0 = -10*ones(1,3);
prob = createOptimProblem("fmincon",x0=x0,...
    lb = lb,ub = ub,...
    objective=fun,nonlcon=@twocone,options=opts);

再現性のために、ランダムシードを設定します。35 個の開始ポイントで MultiStart を実行します。

rng default
[x,fval,eflag,output,solns] = run(ms,prob,35)

MultiStart completed some of the runs from the start points. 

11 out of 35 local solver runs converged with a positive local solver exitflag.

x =

   -6.5000   -0.0000   -3.5000


fval =

  -2.8941e+03


eflag =

     2


output = 

  struct with fields:

                funcCount: 73904
         localSolverTotal: 35
       localSolverSuccess: 11
    localSolverIncomplete: 23
    localSolverNoSolution: 1
                  message: 'MultiStart completed some of the runs from the start points. ↵↵11 out of 35 local solver runs converged with a positive local solver exitflag.'


solns = 

  1×2 GlobalOptimSolution array with properties:

    X
    Fval
    Exitflag
    Output
    X0

ワークスペースには、35 個のローカルソリューションすべてを含む localSolTable 変数が含まれています。対照的に、出力構造は、11 回のローカルソルバー実行のみが成功したことを示しています。

size(localSolTable)

ans =

    35     4

出力関数によって返される情報の種類を確認するには、localSolTable の最初の行を表示します。

disp(localSolTable(1,:))

                   X                     fval      exitflag    constrviolation
    ________________________________    _______    ________    _______________

    -6.5    2.3432e-07          -3.5    -2894.1       1               0

出力関数は、ローカルソリューション X、それに関連付けられた目的関数値 fval、そのローカルソルバーの実行に対応する終了フラグ、および制約違反 (制約違反がない場合は 0) を返します。

補助関数

次のコードは、補助関数 bigtoleft を作成します。

function [f,gradf] = bigtoleft(x)
% This is a simple function that grows rapidly negative
% as x(1) becomes negative
%
f = 10*x(:,1).^3+x(:,1).*x(:,2).^2+x(:,3).*(x(:,1).^2+x(:,2).^2);

if nargout > 1

   gradf=[30*x(1)^2+x(2)^2+2*x(3)*x(1);
       2*x(1)*x(2)+2*x(3)*x(2);
       (x(1)^2+x(2)^2)];

end
end

次のコードは、補助関数 twocone を作成します。

function [c,ceq,gradc,gradceq] = twocone(x)
% This constraint is two cones, z > -10 + r
% and z < 3 - r

ceq = [];
r = sqrt(x(1)^2 + x(2)^2);
c = [-10+r-x(3);
    x(3)-3+r];

if nargout > 2

    gradceq = [];
    gradc = [x(1)/r,x(1)/r;
       x(2)/r,x(2)/r;
       -1,1];

end
end

カスタム GlobalSearch 出力関数

この出力関数は、正の終了フラグを持つ 5 つの異なる局所最小値を見つけた後、または 0.5 未満の局所最小値を見つけた後に、 GlobalSearch を停止します。出力関数は、永続的なローカル変数 foundLocal を使用してローカルの結果を保存します。foundLocal により、出力関数は、ローカルソリューションが他のソリューションと異なるかどうかを 1e-4 の許容範囲内で判断できます。

永続変数の代わりにネストされた関数を使用してローカル結果を保存するには、入れ子構造の出力関数の例を参照してください。

出力関数で説明されている構文を使用して出力関数を記述します。

function stop = StopAfterFive(optimValues, state)
persistent foundLocal
stop = false;
switch state
    case 'init'
        foundLocal = []; % initialized as empty
    case 'iter'
        newf = optimValues.localsolution.Fval;
        exitflag = optimValues.localsolution.Exitflag;
        % Now check if the exit flag is positive and
        % the new value differs from all others by at least 1e-4
        % If so, add the new value to the newf list
        if exitflag > 0 && all(abs(newf - foundLocal) > 1e-4)
            foundLocal = [foundLocal;newf];
            % Now check if the latest value added to foundLocal
            % is less than 1/2
            % Also check if there are 5 local minima in foundLocal
            % If so, then stop
            if foundLocal(end) < 0.5 || length(foundLocal) >= 5
                stop = true;
            end
        end
end

StopAfterFive.m を MATLAB^® パスのフォルダーにファイルとして保存します。

目的関数を記述し、全体的または複数の局所的最小値を見つけるのような最適化問題構造を作成します。

function f = sawtoothxy(x,y)
[t r] = cart2pol(x,y); % change to polar coordinates
h = cos(2*t - 1/2)/2 + cos(t) + 2;
g = (sin(r) - sin(2*r)/2 + sin(3*r)/3 - sin(4*r)/4 + 4) ...
    .*r.^2./(r+1);
f = g.*h;
end

sawtoothxy.m を MATLAB パスのフォルダーにファイルとして保存します。

コマンドラインで、問題の構造を作成します。

problem = createOptimProblem('fmincon',...
    'objective',@(x)sawtoothxy(x(1),x(2)),...
    'x0',[100,-50],'options',...
    optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp'));

出力関数として @StopAfterFive を使用して GlobalSearch オブジェクトを作成し、反復表示プロパティを 'iter' に設定します。
```
gs = GlobalSearch('OutputFcn',@StopAfterFive,'Display','iter');
```
(オプション) この例と同じ回答を得るには、デフォルトの乱数ストリームを設定します。
```
rng default
```

問題を実行します。

[x,fval] = run(gs,problem)

 Num Pts                 Best       Current    Threshold        Local        Local                 
Analyzed  F-count        f(x)       Penalty      Penalty         f(x)     exitflag        Procedure
       0      200       555.5                                   555.5            0    Initial Point
     200     1463   1.547e-15                               1.547e-15            1    Stage 1 Local

GlobalSearch stopped by the output or plot function.

1 out of 2 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.

x =

   1.0e-07 *

    0.0414    0.1298


fval =

   1.5467e-15

GlobalSearch が関数値が 0.5 より小さい点を見つけたため、実行は早期に停止しました。

並列出力機能なし

MultiStart は並列実行できますが、グローバル出力関数とプロット関数の並列実行はサポートされていません。さらに、MultiStart が並列実行される場合、ローカル出力関数とプロット関数はワーカー上で実行されますが、その効果は直列実行の場合とは異なります。ローカル出力およびプロット関数は、ワーカー上で実行されている場合、表示を作成しません。ワーカーが結果をクライアント (MultiStart 並列ジョブの発信元) に渡すまで、出力関数とプロット関数の他の効果は表示されません。

MultiStart を並列で実行する方法の詳細については、並列計算を参照してください。