バンドパスフィルターとしての連続ウェーブレット変換

フィルター処理手法としての CWT

連続ウェーブレット変換 (CWT) は信号の内積 $f (t)$ を解析ウェーブレットの平行移動されたバージョンと膨張したバージョン $ψ (t) .$ で計算します。CWT の定義は次のとおりです。

$C (a, b; f (t), ψ (t)) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \frac{1}{a} ψ^{*} (\frac{t - b}{a}) d t$

CWT を逆フーリエ変換として書き換え、信号の周波数に基づいたフィルター処理として CWT を解釈することもできます。

$C (a, b; f (t), ψ (t)) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ω) \bar{\hat{ψ}} (a ω) e^{i ω b} d ω$

ここで $\hat{f} (ω)$ と $\hat{ψ} (ω)$ は信号とウェーブレットのフーリエ変換です。

前の方程式から、時間でウェーブレットを引き伸ばすと、周波数領域で対応するサポートが縮小することがわかります。周波数サポートの縮小に加えて、ウェーブレットの中心周波数が低周波数の方向にシフトします。次の図は、架空のウェーブレットと 1、2、4 のスケール (膨張) 係数に対するこの影響を示しています。

これは、CWT を入力信号のバンドパスフィルター処理として表しています。低いスケールの CWT 係数は高周波数の入力信号におけるエネルギーを表し、高いスケールの CWT 係数は低周波数の入力信号におけるエネルギーを表します。ただし、フーリエバンドパスフィルター処理とは違い、CWT のバンドパスフィルターの幅はスケールに対して反比例します。CWT "フィルター" の幅はスケールの増加に伴い減少します。これは、時間における信号のサポートが広くなると、周波数におけるそのサポートが狭くなるという、信号の時間と周波数のサポート間にある "不確かな" 関係に基づいています。逆の関係も成立します。

ウェーブレット変換では、スケールまたは膨張操作はエネルギーを維持するために定義されます。周波数サポートを縮小しながらエネルギーを節約するには、ピークエネルギーレベルが増加する必要があります。Wavelet Toolbox™ での cwt の実装では L1 正規化を使用します。"品質係数" またはフィルターの "Q 係数" は、帯域幅に対するピークエネルギーの比率です。ウェーブレットの周波数サポートを縮小または引き伸ばすと、そのピークエネルギーが比例して増減するため、ウェーブレットは定 Q フィルターと呼ばれることがよくあります。

DFT ベースの連続ウェーブレット変換

前の節の方程式は CWT をフーリエ変換の積に対する逆フーリエ変換として定義しました。

$C (a, b; f (t), ψ (t)) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \overset{\land}{f} (ω) {\hat{ψ}}^{*} (a ω) e^{j ω b} d ω$

逆フーリエ変換の "時間" 変数は平行移動パラメーター b です。

これは、逆フーリエ変換を使用して CWT を計算できることを示しています。離散フーリエ変換とその逆変換の計算に効率的なアルゴリズムがあるため、可能な場合は fft と ifft を使用すると、多くの場合、大幅な節約を達成できます。

フーリエ領域での CWT の図を得るには、ウェーブレット変換の定義から始めます。

$< f (t), ψ_{a, b} (t) > = \frac{1}{a} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) ψ^{*} (\frac{t - b}{a}) d t$

次を定義すると

${\tilde{ψ}}_{a} (t) = \frac{1}{a} ψ^{*} (- t / a)$

ウェーブレット変換を次のように書き換えることができます。

$(f * {\tilde{ψ}}_{a}) (b) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) {\tilde{ψ}}_{a} (b - t) d t$

これにより、CWT を畳み込みとして明示的に表現します。

CWT の離散化バージョンを実装するには、入力シーケンスが長さ N のベクトル x[n] であると仮定します。前の畳み込みの離散バージョンは次のとおりです。

$W_{a} [b] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {\tilde{ψ}}_{a} [b - n]$

CWT を求めるには、シフトパラメーター b の値ごとに畳み込みを計算し、スケール a ごとにこのプロセスを繰り返さなければならないようです。

ただし、この 2 つのシーケンスが循環して拡張される (長さ N に周期化される) 場合、循環畳み込みを離散フーリエ変換の積として表現できます。CWT は次の積の逆フーリエ変換です。

$W_{a} (b) = \frac{1}{N} \sqrt{\frac{2 π}{Δ t}} \sum_{k = 0}^{N - 1} \overset{\land}{X} (2 π k / N Δ t) \overset{\land}{ψ} * (a 2 π k / N Δ t) e^{j 2 π k b / N}$

ここで、Δt はサンプリング間隔 (周期) です。

CWT を逆フーリエ変換として表現すると、計算効率の高い fft アルゴリズムと ifft アルゴリズムを使用して、畳み込みを計算するコストを削減できます。

関数 cwt は CWT を実装します。