jacobiP

ヤコビ多項式

構文

jacobiP(n,a,b,x)

説明

jacobiP(n,a,b,x) は、x における n 次のヤコビ多項式をパラメーター a および b と共に返します。

例

数値入力およびシンボリック入力のヤコビ多項式を求める

数値入力の 2 次ヤコビ多項式を求めます。

jacobiP(2,0.5,-3,6)

ans =
    7.3438

シンボリック入力のヤコビ多項式を求めます。

syms n a b x
jacobiP(n,a,b,x)

ans =
jacobiP(n, a, b, x)

ヤコビ多項式の次数が指定されていない場合、jacobiP は多項式を求めることができず、関数呼び出しを返します。

ヤコビ多項式の次数を 1 に指定し、多項式を返すようにします。

J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
a/2 - b/2 + x*(a/2 + b/2 + 1)

jacobiP を数値と共に直接呼び出し、ヤコビ多項式の数値を求めます。丸めにより結果が不正確なものとなるため、シンボリック多項式には代入しないでください。subs を使用してシンボリック多項式に代入してこれを試し、結果を数値呼び出しと比較します。

J = jacobiP(300, -1/2, -1/2, x);
subs(J,x,vpa(1/2))
jacobiP(300, -1/2, -1/2, vpa(1/2))

ans =
101573673381249394050.64541318209
ans =
0.032559931334979678350422392588404

subs を使用してシンボリック多項式に代入した場合、数値の結果には丸め誤差が生じます。jacobiP を数値で直接呼び出した場合は正確になります。

ベクトルおよび行列の入力によりヤコビ多項式を求める

a = 3 および b = 1 について n = [1 2] を設定して 1 次および 2 次のヤコビ多項式を求めます。

syms x
jacobiP([1 2],3,1,x)

ans =
[ 3*x + 1, 7*x^2 + (7*x)/2 - 1/2]

jacobiP は n の要素ごとに働き、2 つのエントリを含むベクトルを返します。

複数の入力がベクトル、行列または多次元配列として指定されている場合、これらの入力は同じサイズでなければなりません。a = [1 2;3 1]、b = [2 2;1 3]、n = 1 および x のヤコビ多項式を求めます。

a = [1 2;3 1];
b = [2 2;1 3];
J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
[ (5*x)/2 - 1/2,     3*x]
[       3*x + 1, 3*x - 1]

jacobiP は a および b の要素ごとに働き、a および b と同じサイズの行列を返します。

ヤコビ多項式のゼロの可視化

a = 3、b = 3 および -1<x<1 に対し、1 次、2 次および 3 次のヤコビ多項式をプロットします。プロットを見やすくするため、axis を使用して軸の範囲を設定します。

syms x
fplot(jacobiP(1:3,3,3,x))
axis([-1 1 -2 2])
grid on

ylabel('P_n^{(\alpha,\beta)}(x)')
title('Zeros of Jacobi polynomials of degree=1,2,3 with a=3 and b=3');
legend('1','2','3','Location','best')

重み関数に対するヤコビ多項式の直交性の証明

ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) は、区間 [-1,1] において重み関数 $${\left(1-x\right)}^a{\left(1-x\right)}^b$$ と直交します。

区間 [-1,1] についてヤコビ多項式と重み関数の積を積分することによって、P(3,a,b,x) および P(5,a,b,x) が重み関数 $${\left(1-x\right)}^a{\left(1-x\right)}^b$$ と直交することを証明します。ここで a = 3.5 かつ b = 7.2 です。

syms x
a = 3.5;
b = 7.2;
P3 = jacobiP(3, a, b, x);
P5 = jacobiP(5, a, b, x);
w = (1-x)^a*(1+x)^b;
int(P3*P5*w, x, -1, 1)

ans =
0

入力引数

n — ヤコビ多項式の次数

非負の整数 | 非負の整数のベクトル | 非負の整数の行列 | 非負の整数の多次元配列 | シンボリック非負の整数 | シンボリック変数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック多次元配列

ヤコビ多項式の次数。非負の整数、あるいは非負の整数のベクトル、行列または多次元配列、あるいはシンボリックな非負の整数、変数、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

a — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 多次元配列 | シンボリック数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック多次元配列

入力。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリック数、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

b — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 多次元配列 | シンボリック数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック多次元配列

入力。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリック数、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

x — 評価点

数値 | ベクトル | 行列 | 多次元配列 | シンボリック数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック多次元配列

評価点。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリック数、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

詳細

ヤコビ多項式

• ヤコビ多項式は次の再帰式によって与えられます。

  $$\begin{array}{l}2n{c}_n{c}_{2n-2}P\left(n,a,b,x\right)=c_{2n-1}\left(c_{2n-2}{c}_{2n}x+a^2-b^2\right)P\left(n-1,a,b,x\right)\\ -2\left(n-1+a\right)\left(n-1+b\right)c_{2n}P\left(n-2,a,b,x\right),\\ \text{where}\\ c_n=n+a+b\\ P\left(0,a,b,x\right)=1\\ P\left(1,a,b,x\right)=\frac{a-b}{2}+\left(1+\frac{a+b}{2}\right)x.\end{array}$$

• 固定された実数の a > -1 および b > -1 に対して、ヤコビ多項式は区間 [-1,1] で重み関数 $$w\left(x\right)={\left(1-x\right)}^a{\left(1+x\right)}^b$$ と直交します。

  $${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}P(n,a,b,x)P(m,a,b,x){\left(1-x\right)}^a{\left(1+x\right)}^{b}dx}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n\ne m\\ \frac{2^{a+b+1}}{2n+a+b+1}\frac{\Gamma \left(n+a+1\right)\Gamma \left(n+b+1\right)}{\Gamma \left(n+a+b+1\right)n!}& \text{if }n=m.\end{array}$$

• a = 0 および b = 0 に対して、ヤコビ多項式 P(n,0,0,x) はルジャンドル多項式 P(n, x) に簡約されます。

• ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) と第 1 種チェビシェフ多項式 T(n,x) の関係は次のとおりです。

  $$T\left(n,x\right)=\frac{2^{2n}{\left(n!\right)}^2}{\left(2n\right)!}P\left(n,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},x\right).$$

• ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) と第 2 種チェビシェフ多項式 U(n,x) の関係は次のとおりです。

  $$U\left(n,x\right)=\frac{2^{2n}n!\left(n+1\right)!}{\left(2n+1\right)!}P\left(n,\frac{1}{2},\frac{1}{2},x\right).$$

• ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) とゲーゲンバウアー多項式 G(n,a,x) の関係は次のとおりです。

  $$G\left(n,a,x\right)=\frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(n+2a\right)}{\Gamma \left(2a\right)\Gamma \left(n+a+\frac{1}{2}\right)}P\left(n,a-\frac{1}{2},a-\frac{1}{2},x\right).$$

バージョン履歴

R2014b で導入

参考

chebyshevT | chebyshevU | gegenbauerC | hermiteH | hypergeom | laguerreL | legendreP