chebyshevU

第 2 種チェビシェフ多項式

構文

chebyshevU(n,x)

説明

chebyshevU(n,x) は、点 x における n 次の第 2 種チェビシェフ多項式を表しています。

例

最初の 5 つの第 2 種チェビシェフ多項式

変数 x の最初の 5 つの第 2 種チェビシェフ多項式を求めます。

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)

ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

数値引数およびシンボリック引数のチェビシェフ多項式

引数に応じて、chebyshevU は浮動小数点解またはシンボリック厳密解の結果を返します。

これらの点における 5 次の第 2 種チェビシェフ多項式の値を求めます。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、chebyshevU は浮動小数点の結果を返します。

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])

ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

シンボリック オブジェクトに変換された同じ数値に対する 5 次の第 2 種チェビシェフ多項式の値を求めます。シンボリック数に対し、chebyshevU はシンボリック厳密解の結果を返します。

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))

ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

浮動小数点数によるチェビシェフ多項式の求解

chebyshevU の直接呼び出しによるチェビシェフ多項式の浮動小数点求解は数値的に安定しています。しかし、最初にシンボリック変数を使用して多項式を計算し、それからこの式に可変精度の値を代入すると数値的に不安定になる場合があります。

1/3 および vpa(1/3) における 500 次の第 2 種チェビシェフ多項式の値を求めます。浮動小数点求解は数値的に安定しています。

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))

ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

続いて、シンボリック多項式 U500 = chebyshevU(500, x) を求め、結果に x = vpa(1/3) を代入します。この方法は数値的に不安定です。

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))

ans =
63080680195950160912110845952.0

vpa を使用して多項式の係数を近似し、結果に x = sym(1/3) を代入します。この方法も数値的に不安定です。

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))

ans =
-1878009301399851172833781612544.0

第 2 種チェビシェフ多項式のプロット

最初の 5 つの第 2 種チェビシェフ多項式をプロットします。

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')

入力引数

n — 多項式の次数

非負の整数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | ベクトル | 行列

多項式の次数。非負の整数、シンボリック変数、式または関数として、あるいは数値、シンボリック数、変数、式または関数のベクトルまたは行列として指定します。

x — 評価点

数値 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | ベクトル | 行列

求解点。数値、シンボリック数、変数、式または関数、あるいは数値、シンボリック数、変数、式または関数のベクトルまたは行列として指定します。

詳細

第 2 種チェビシェフ多項式

• 第 2 種チェビシェフ多項式は、次のように定義されます。

  $$U\left(n,x\right)=\frac{\sin \left(\left(n+1\right)a\cos \left(x\right)\right)}{\sin \left(a\cos \left(x\right)\right)}$$

  これらの多項式は次の再帰式を満たします。

  $$U\left(0,x\right)=1,U\left(1,x\right)=2x,U\left(n,x\right)=2xU\left(n-1,x\right)-U\left(n-2,x\right)$$

• 第 2 種チェビシェフ多項式は区間 -1 ≤ x ≤ 1 において重み関数 $$w\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$$ と直交します。

  $${\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}U(n,x)U(m,x)\sqrt{1-x^2}dx}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n\ne m\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }n=m.\end{array}$$

• 第 2 種チェビシェフ多項式は、次のヤコビ多項式、

  $$U\left(n,x\right)=\frac{2^{2n}n!\left(n+1\right)!}{\left(2n+1\right)!}P\left(n,\frac{1}{2},\frac{1}{2},x\right)$$

  および次のゲーゲンバウアー多項式の特殊なケースです。

  $$U\left(n,x\right)=G\left(n,1,x\right)$$

ヒント

• chebyshevU は、シンボリック オブジェクトではない数値引数に対し浮動小数点の結果を返します。

• chebyshevU は非スカラー入力の要素ごとに働きます。

• 少なくとも 1 つの入力引数はスカラーであるか、両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、chebyshevU によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

参照

[1] Hochstrasser, U. W. “Orthogonal Polynomials.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

[2] Cohl, Howard S., and Connor MacKenzie. “Generalizations and Specializations of Generating Functions for Jacobi, Gegenbauer, Chebyshev and Legendre Polynomials with Definite Integrals.” Journal of Classical Analysis, no. 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

バージョン履歴

R2014b で導入

参考

chebyshevT | gegenbauerC | hermiteH | jacobiP | laguerreL | legendreP