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hermiteH

エルミート多項式

構文

hermiteH(n,x)

説明

hermiteH(n,x) は、点 x における n 次エルミート多項式を表します。

例

最初の 5 つのエルミート多項式

変数 x に対する最初の 5 つのエルミート多項式を求めます。

syms x
hermiteH([0 1 2 3 4], x)

ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 2, 8*x^3 - 12*x, 16*x^4 - 48*x^2 + 12]

数値引数およびシンボリック引数のエルミート多項式

入力が数値かシンボリックであるかに応じて、hermiteH は数値解またはシンボリック厳密解の結果を返します。

1/3 における 5 次エルミート多項式の値を求めます。入力は数値であるため、hermiteH は数値の結果を返します。

hermiteH(5,1/3)

ans =
   34.2058

厳密なシンボリック入力で同じ結果を求めます。hermiteH はシンボリック厳密解の結果を返します。

hermiteH(5,sym(1/3))

ans =
8312/243

エルミート多項式のプロット

最初の 5 つのエルミート多項式をプロットします。

syms x y
fplot(hermiteH(0:4,x))
axis([-2 2 -30 30])
grid on

ylabel('H_n(x)')
legend('H_0(x)', 'H_1(x)', 'H_2(x)', 'H_3(x)', 'H_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Hermite polynomials')

入力引数

n — 多項式の次数

非負の整数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | ベクトル | 行列

多項式の次数。非負の整数、シンボリック変数、式または関数として、あるいは数値、シンボリック数、変数、式または関数のベクトルまたは行列として指定します。

x — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

詳細

エルミート多項式

エルミート多項式は次の再帰式によって定義されます。

$$H\left(0,x\right)=1,H\left(1,x\right)=2x,H\left(n,x\right)=2xH\left(n-1,x\right)-2\left(n-1\right)H\left(n-2,x\right)$$

MATLAB^® 内のエルミート多項式はこの正規化を満たします。

$${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(H_n(x)\right)}^2}{\text{e}}^{-x^2}dx=2^n\sqrt{\pi }n!$$

ヒント

• hermiteH は、シンボリック オブジェクトではない数値引数に対し浮動小数点の結果を返します。

• hermiteH は非スカラーの入力の要素ごとに働きます。

• 少なくとも 1 つの入力引数はスカラーであるか、両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、hermiteH によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

参照

[1] Hochstrasser, U. W. “Orthogonal Polynomials.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2014b で導入

参考

chebyshevT | chebyshevU | gegenbauerC | jacobiP | laguerreL | legendreP