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微分方程式の求解

dsolve 関数を使用して微分方程式を解析的に解きます。初期条件はあってもなくてもかまいません。連立微分方程式の解を求めるには、連立微分方程式の求解を参照してください。

線形 1 階 ODE

この微分方程式の解を求めます。

$$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ty}$$

はじめに、$$y$$ を syms を用いて表現し、シンボリック関数 y(t) を作成します。

syms y(t)

== を使用して方程式を定義し、diff 関数を使用して微分を表します。

ode = diff(y,t) == t*y

ode(t) = 
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }y\left(t\right)=t\hspace{0.17em}y\left(t\right)$$

dsolve を使用して方程式を解きます。

ySol(t) = dsolve(ode)

ySol(t) = 
$$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{t^2}{2}}$$

条件付き微分方程式の求解

前の解では条件が指定されていないため、定数 $$C_1$$ が出現します。初期条件 y(0) == 2 で方程式を解きます。dsolve 関数により、条件を満たす値 $$C_1$$ が求まります。

cond = y(0) == 2;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) = 
$$2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{t^2}{2}}$$

dsolve を使用して方程式を解くことができない場合、方程式を数値的に解いてみてください。2 階微分方程式の数値的な求解を参照してください。

初期条件付き非線形微分方程式

次の初期条件付き非線形微分方程式を解きます。この方程式には複数の解があります。

$$\begin{array}{l}{\left(\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}+\mathit{y}\right)}^2=1\\ \mathit{y}\left(0\right)=0\end{array}$$

syms y(t)
ode = (diff(y,t)+y)^2 == 1;
cond = y(0) == 0;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) = 
$$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{-t}-1\\ 1-{\mathrm{e}}^{-t}\end{array}\right)$$

初期条件付き 2 階 ODE

2 つの初期条件を使用して、次の 2 階微分方程式を解きます。

$$\begin{array}{l}\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dx}}^2}=\cos \left(2\mathit{x}\right)-\mathit{y}\\ \mathit{y}\left(0\right)=1\\ {\mathit{y}}^{\prime }\left(0\right)=0\end{array}$$

方程式と条件を定義します。2 つ目の初期条件には y の 1 次導関数が含まれます。シンボリック関数 Dy = diff(y) を作成して微分を表現してから、Dy(0)==0 を用いて条件を定義します。

syms y(x)
Dy = diff(y);

ode = diff(y,x,2) == cos(2*x)-y;
cond1 = y(0) == 1;
cond2 = Dy(0) == 0;

ode を y について解きます。simplify 関数を使用して解を単純化します。

conds = [cond1 cond2];
ySol(x) = dsolve(ode,conds);
ySol = simplify(ySol)

ySol(x) = 
$$1-\frac{8\hspace{0.17em}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}^4}{3}$$

初期条件付き 3 階 ODE

3 つの初期条件を使用して、次の 3 階微分方程式を解きます。

$$\begin{array}{l}\frac{{\mathit{d}}^3\mathit{u}}{{\mathit{dx}}^3}=\mathit{u}\\ \mathit{u}\left(0\right)=1\\ {\mathit{u}}^{\prime }\left(0\right)=-1\\ {{\mathit{u}}^{\prime }}^{\prime }\left(0\right)=\pi \end{array}$$

初期条件には 1 次および 2 次導関数が含まれるため、2 つのシンボリック関数 Du = diff(u,x) および D2u = diff(u,x,2) を作成し、初期条件を指定します。

syms u(x)
Du = diff(u,x);
D2u = diff(u,x,2);

方程式と初期条件を作成し、解きます。

ode = diff(u,x,3) == u;
cond1 = u(0) == 1;
cond2 = Du(0) == -1;
cond3 = D2u(0) == pi;
conds = [cond1 cond2 cond3];

uSol(x) = dsolve(ode,conds)

uSol(x) = 
$$\frac{\pi \hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x}{3}-{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}x}{2}\right)\hspace{0.17em}\left(\frac{\pi }{3}-1\right)-\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}\hspace{0.17em}\sin \left(\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}x}{2}\right)\hspace{0.17em}\left(\pi +1\right)}{3}$$

その他の ODE の例

次の表では、微分方程式、および Symbolic Math Toolbox™ でのその構文の例を説明します。

微分方程式	Symbolic Math Toolbox を使用したコマンド
$$\begin{array}{l}\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}+4\mathit{y}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{e}}^{-\mathit{t}}\\ \mathit{y}\left(0\right)=1\end{array}$$	>> syms y(t) >> ode = diff(y)+4*y == exp(-t); >> cond = y(0) == 1; >> ySol(t) = dsolve(ode,cond) ySol(t) = exp(-t)/3 + (2*exp(-4*t))/3
$$2{\mathit{x}}^2\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dx}}^2}+3\mathit{x}\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-\mathit{y}=0$$	>> syms y(x) >> ode = 2*x^2*diff(y,x,2)+3*x*diff(y,x)-y == 0; >> ySol(x) = dsolve(ode) ySol(x) = C1/(3*x) + C2*x^(1/2)
エアリー方程式。 $$\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dx}}^2}=\mathit{x}\mathit{y}\left(\mathit{x}\right)$$	>> syms y(x) >> ode = diff(y,x,2) == x*y; >> ySol(x) = dsolve(ode) ySol(x) = C1*airy(0,x) + C2*airy(2,x)
ピュイズー級数の解。 $$\left({\mathit{x}}^2+1\right)\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dx}}^2}-2\mathit{x}\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+\mathit{y}=0$$	>> syms y(x) a >> ode = (x^2+1)*diff(y,x,2)-2*x*diff(y,x)+y == 0; >> Dy = diff(y,x); >> cond = [Dy(0) == a; y(0) == 5]; >> ySol(x) = dsolve(ode,cond,ExpansionPoint=0) ySol(x) = - (a*x^5)/120 - (5*x^4)/24 + (a*x^3)/6 - (5*x^2)/2 + a*x + 5

参考

dsolve | odeFunction | odeToVectorField | reduceDifferentialOrder | daeFunction

トピック

• 連立微分方程式の求解
• 2 階微分方程式の数値的な求解
• 微分代数方程式 (DAE) の求解