微分方程式系の求解

複数の変数をもつ複数の常微分方程式系を、dsolve を用いて初期条件の指定に関係なく解きます。一元微分方程式の解を求めるには、微分方程式の求解を参照してください。

微分方程式系の求解

この線形 1 階微分方程式系を解きます。

$\begin{array}{l} \frac{du}{dt} = 3 u + 4 v, \\ \frac{dv}{dt} = - 4 u + 3 v . \end{array}$

はじめに、 $u$ と $v$ を syms を用いて表現し、シンボリック関数 u(t) と v(t) を作成します。

syms u(t) v(t)

== を使用して方程式を定義し、関数 diff を使用して微分を表します。

ode1 = diff(u) == 3*u + 4*v;
ode2 = diff(v) == -4*u + 3*v;
odes = [ode1; ode2]

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} u (t) = 3 u (t) + 4 v (t) \\ \frac{\partial}{\partial t} v (t) = 3 v (t) - 4 u (t) \end{array})$

構造体の要素として解を返す関数 dsolve を使用して系を解きます。

S = dsolve(odes)

S = struct with fields:
    v: C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t)
    u: C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t)

dsolve を使用して方程式を解くことができない場合、方程式を数値的に解いてみてください。2 階微分方程式の数値的な求解を参照してください。

u(t) と v(t) にアクセスするため、構造体 S でインデックスを指定します。

uSol(t) = S.u

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) = S.v

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

または、複数の出力引数を指定して、u(t) と v(t) を直接格納します。

[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes)

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

条件が指定されていないため、定数 C1 と C2 が出現します。初期条件 u(0) == 0 と v(0) == 0 で系を解きます。これらの条件を満たす定数の値を、関数 dsolve が求めます。

cond1 = u(0) == 0;
cond2 = v(0) == 1;
conds = [cond1; cond2];
[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes,conds)

uSol(t) =  $\sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $\cos (4 t) e^{3 t}$

fplot を使用して解を可視化します。

fplot(uSol)
hold on
fplot(vSol)
grid on
legend('uSol','vSol','Location','best')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type functionline. These objects represent uSol, vSol.

行列形式での微分方程式の求解

dsolve を使用して、微分方程式を行列形式で解きます。

この微分方程式系を考えます。

$\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2 y + 1, \\ \frac{dy}{dt} = - x + y + t . \end{array}$

この系の行列形式は次になります。

$[\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

以下により

$Y = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}], A = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

この系は、 $Y^{'} = A Y + B .$ となります。

これらの行列と行列方程式を定義します。

syms x(t) y(t)
A = [1 2; -1 1];
B = [1; t];
Y = [x; y];
odes = diff(Y) == A*Y + B

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} x (t) = x (t) + 2 y (t) + 1 \\ \frac{\partial}{\partial t} y (t) = t - x (t) + y (t) \end{array})$

dsolve を使用して行列方程式を解きます。関数 simplify を使用して解を単純化します。

[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes);
xSol(t) = simplify(xSol(t))

xSol(t) = 
 $\frac{2 t}{3} + \sqrt{2} C_{2} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) + \sqrt{2} C_{1} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) + \frac{1}{9}$

ySol(t) = simplify(ySol(t))

ySol(t) = 
 $C_{1} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) - \frac{t}{3} - C_{2} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) - \frac{2}{9}$

条件が指定されていないため、定数 C1 と C2 が出現します。

初期条件 $u (0) = 2$ と $v (0) = - 1$ で系を解きます。方程式を行列形式で指定する場合、初期条件も行列形式で指定しなければなりません。dsolve で、これらの条件を満たす定数の値を求められます。

C = Y(0) == [2;-1];
[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes,C)

xSol(t) = 
 $\begin{array}{l} \sqrt{2} e^{t} σ_{2} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - \sqrt{2} e^{t} σ_{1} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

ySol(t) = 
 $\begin{array}{l} - e^{t} σ_{1} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - e^{t} σ_{2} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

fplot を使用して解を可視化します。

clf
fplot(ySol)
hold on
fplot(xSol)
grid on
legend('ySol','xSol','Location','best')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type functionline. These objects represent ySol, xSol.

参考

微分方程式の求解