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2 階微分方程式の数値的な求解

この例では、2 階微分方程式を微分方程式系に変換し、MATLAB® の数値ソルバー ode45 を使用して解く方法を説明します。

高階数の常微分方程式を解く一般的な方法は、1 階微分方程式系に変換して解くことです。この例では、Symbolic Math Toolbox™ を使用して 2 階 ODE を 1 階 ODE 系に変換します。その後、MATLAB ソルバー ode45 を使用して方程式系を求解します。

2 階 ODE から 1 階 ODE 系への書き換え

odeToVectorField を使用してこの 2 階微分方程式を書き換えます。

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=(1-y^2)\frac{dy}{dt}-y$$

変数の取り換えを使います。$$y(t)=Y_1$$ および $$\frac{dy}{dt}=Y_2$$ として、両方程式を微分すると、1 階微分方程式系が得られます。

$$\begin{array}{c}\frac{d{Y}_1}{dt}=Y_2\\ \frac{d{Y}_2}{dt}=-(Y_1^2-1)Y_2-Y_1\end{array}$$

syms y(t)
[V] = odeToVectorField(diff(y, 2) == (1 - y^2)*diff(y) - y)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}{Y}_2\\ -\left({Y_1}^2-1\right)\hspace{0.17em}{Y}_2-Y_1\end{array}\right)$$

MATLAB 関数の生成

MATLAB ODE ソルバーはシンボリック式を入力として受け付けません。したがって、MATLAB ODE ソルバーを使用して方程式系を求解する前に MATLAB 関数に変換しなければなりません。この 1 階微分方程式系から MATLAB 関数を生成するには、matlabFunction と V を入力として使用します。

M = matlabFunction(V,'vars', {'t','Y'})

M = function_handle with value:
    @(t,Y)[Y(2);-(Y(1).^2-1.0).*Y(2)-Y(1)]

1 階 ODE 系の求解

この方程式系の解を求めるには、生成された MATLAB 関数を入力として使用し、MATLAB ode45 数値ソルバーを呼び出します。

sol = ode45(M,[0 20],[2 0]);

解のプロット

linspace を使用して区間 [0,20] で 100 点を生成し、deval を使用して各点の解を評価し、解をプロットします。

fplot(@(x)deval(sol,x,1), [0, 20])

参考

dsolve | matlabFunction | ode45 | odeToVectorField