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fsst

フーリエ シンクロスクイーズド変換

構文

s = fsst(x)

[s,w,n] = fsst(x)

[s,f,t] = fsst(x,fs)

[s,f,t] = fsst(x,ts)

[___] = fsst(___,window)

fsst(___)

fsst(___,freqloc)

説明

s = fsst(x) は、入力信号 x のフーリエ シンクロスクイーズド変換を返します。s の各列には、x のウィンドウが適用されたセグメントのシンクロスクイーズド スペクトルが格納されます。

[s,w,n] = fsst(x) は、正規化周波数 w のベクトルとフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算した時点のサンプル数 n のベクトルを返します。w は s の列に、n は s の行に対応します。

[s,f,t] = fsst(x,fs) は、巡回周波数 f のベクトルおよび時点のベクトル t をサンプルレート fs で表して返します。

[s,f,t] = fsst(x,ts) は、サンプル時間 ts を duration スカラーとして指定します。t の単位は ts と同じです。f の単位は、ts の単位の逆数です。

[___] = fsst(___,window) は、window を使用して信号をセグメントに分割し、ウィンドウ処理を実行します。前の構文の入力引数を任意に組み合わせて使用し、対応する出力引数を取得することができます。

出力引数を設定せずに fsst(___) を使用すると、現在の Figure ウィンドウにシンクロスクイーズド変換がプロットされます。

fsst(___,freqloc) では、周波数をプロットする軸を指定します。

例

正弦波信号のフーリエ シンクロスクイーズド変換

ホワイト ガウス ノイズに含まれた正弦波の和で構成される 1024 サンプルの信号を生成します。正弦波の正規化周波数は、$$2\pi /5$$ ラジアン/サンプルおよび $$4\pi /5$$ ラジアン/サンプルです。高周波数の正弦波の振幅は、他の正弦波の振幅の 3 倍です。

N = 1024;
n = 0:N-1;

w0 = 2*pi/5;
x = sin(w0*n)+3*sin(2*w0*n);

信号のフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算します。結果をプロットします。

[s,w,n] = fsst(x);

mesh(n,w/pi,abs(s))

axis tight
view(2)
colorbar

比較のために信号の通常の短時間フーリエ変換を計算します。spectrogram の既定の値を使用します。結果をプロットします。

[s,w,n] = spectrogram(x);
 
surf(n,w/pi,abs(s),'EdgeColor','none')

axis tight
view(2)
colorbar

線形チャープのシンクロスクイーズド変換

2 つのチャープで構成された信号を生成します。信号は、3 kHz で 1 秒間サンプリングされます。最初のチャープの初期周波数は 400 Hz で、サンプリングの最後には 800 Hz に到達します。2 番目のチャープは 500 Hz から開始し、最後には 1000 Hz に到達します。2 番目のチャープの振幅は最初のチャープ 2 倍です。

fs = 3000;
t = 0:1/fs:1-1/fs;

x1 = chirp(t,400,t(end),800);
x2 = 2*chirp(t,500,t(end),1000);

信号のフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算し、プロットします。

fsst(x1+x2,fs,'yaxis')

シンクロスクイーズド変換と短時間フーリエ変換 (STFT) を比較します。STFT を計算するには、関数 spectrogram を使用します。fsst で使用する既定のパラメーターを指定します。

• β = 10 の 256 点カイザー ウィンドウで信号にウィンドウを適用

• 隣り合ったウィンドウ セグメント間の 255 サンプルのオーバーラップ

• 256 の FFT 長

[stft,f,t] = spectrogram(x1+x2,kaiser(256,10),255,256,fs);

STFT の絶対値をプロットします。

mesh(t,f,abs(stft))

xlabel('Time (s)') 
ylabel('Frequency (Hz)')
title('Short-Time Fourier Transform')
axis tight
view(2)

チャープのフーリエ シンクロスクイーズド変換

100 Hz で開始し、t = 1 秒で 200 Hz になる二次チャープのフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算して表示します。サンプルレートを 1 kHz に指定します。サンプル時間を duration スカラーとして表します。

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2;
ts = duration(0,0,1/fs);

x = chirp(t,100,1,200,'quadratic');

fsst(x,ts,'yaxis')

title('Quadratic Chirp')

シンクロスクイーズ アルゴリズムは、信号の周波数が緩やかに変化するという仮定の下で動作します。したがって、周波数の変化率は小さいため、スペクトルが早い時点で良好に集中します。

DC で開始し、t = 1 秒で 150 Hz になる線形チャープのフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算して表示します。256 サンプルのハミング ウィンドウを使用します。

x = chirp(t,0,1,150);

fsst(x,ts,hamming(256),'yaxis')

title('Linear Chirp')

対数チャープのフーリエ シンクロスクイーズド変換を計算し、表示します。このチャープは 1 kHz でサンプリングされ、20 Hz で開始し、t = 1 秒で 60 Hz に達します。β = 20 の 256 サンプル カイザー ウィンドウを使用します。

x = chirp(t,20,1,60,'logarithmic');

[s,f,t] = fsst(x,fs,kaiser(256,20));

clf
mesh(t,f,(abs(s)))

title('Logarithmic Chirp') 
xlabel('Time (s)')
ylabel('Frequency (Hz)')
view(2)

周波数軸に対数スケールを使用します。この変換は直線になります。

ax = gca;
ax.YScale = 'log';
axis tight

音声信号のフーリエ シンクロスクイーズド変換

$$F_s=7418Hz$$ でサンプリングされた音声信号を読み込みます。ファイルには、"MATLAB®" という単語を発声している女性の録音音声が含まれています。

load mtlb

% To hear, type sound(mtlb,Fs)

信号のシンクロスクイーズド変換を計算します。長さ 256 のハン ウィンドウを使用します。時間を x 軸に、周波数を y 軸に表示します。

fsst(mtlb,Fs,hann(256),'yaxis')

ifsst を使用して逆変換を行います。元の信号と再構成後の信号を比較します。

sst = fsst(mtlb,Fs,hann(256));

xrc = ifsst(sst,hann(256));

plot((0:length(mtlb)-1)/Fs,[mtlb xrc xrc-mtlb])
legend('Original','Reconstructed','Difference')

% To hear, type sound(xrc-mtlb,Fs)

入力引数

x — 入力信号

ベクトル

入力信号。ベクトルで指定します。

例: cos(pi/4*(0:159))+randn(1,160) は、ホワイト ガウス ノイズに含まれる正弦波を指定します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

fs — サンプルレート

1 Hz (既定値) | 正のスカラー

サンプルレート。正のスカラーで指定します。サンプルレートは単位時間あたりのサンプル数です。時間の単位が秒の場合、サンプルレートの単位は Hz です。

データ型: double | single

ts — サンプル時間

duration スカラー

サンプル時間。duration スカラーで指定します。サンプル時間は、x の連続するサンプル間で経過する時間です。

データ型: duration

window — 信号をセグメントに分割するために使用するウィンドウ

kaiser(256,10) (既定値) | 整数 | ベクトル | []

信号をセグメントに分割するために使用するウィンドウ。整数、あるいは行ベクトルまたは列ベクトルで指定します。

• window が整数の場合、fsst は x を長さが window のセグメントに分割し、各セグメントに、その長さおよび β = 10 のカイザー ウィンドウを適用します。隣接するセグメント間のオーバーラップは、window – 1 です。

• window がベクトルの場合、fsst は x をベクトルと同じ長さのセグメントに分割し、window を使用して各セグメントにウィンドウを適用します。隣接するセグメント間のオーバーラップは、length(window) – 1 です。

• window が指定されない場合、fsst は x を長さ 256 のセグメントに分割し、各セグメントに 256 サンプルのカイザー ウィンドウを β = 10 で適用します。隣接するセグメント間のオーバーラップは 255 です。x のサンプル数が 256 未満の場合、関数は、x と同じ長さで β = 10 の単一のカイザー ウィンドウを使用します。

利用可能なウィンドウについては、ウィンドウを参照してください。

例: hann(N+1) と (1-cos(2*pi*(0:N)'/N))/2 は、いずれも長さ N + 1 のハン ウィンドウを指定します。

データ型: double | single

freqloc — 周波数の表示軸

'xaxis' (既定値) | 'yaxis'

周波数の表示軸。'xaxis' または 'yaxis' で指定します。

• 'xaxis' — 周波数が x 軸に、時間が y 軸に表示されます。

• 'yaxis' — 周波数が y 軸に、時間が x 軸に表示されます。

この引数は出力引数で fsst を呼び出している場合に無視されます。

出力引数

s — フーリエ シンクロスクイーズド変換

行列

フーリエ シンクロスクイーズド変換。行列として返されます。時間は s の列方向に沿って増加し、周波数は s 行方向に沿って 0 から増加します。x が実数の場合、シンクロスクイーズド スペクトルは片側になります。x が複素数の場合、シンクロスクイーズド スペクトルは両側で中央揃えになります。

w — 正規化周波数

ベクトル

正規化周波数。ベクトルとして返されます。w の長さは s の行数と等しくなります。

n — サンプル数

ベクトル

サンプル数。ベクトルとして返されます。n の長さは s の列数と等しくなります。n の各サンプル番号はウィンドウが適用されたセグメント x の中点になります。

f — 巡回周波数

ベクトル

ベクトルとして返される巡回周波数。f の長さは s の列数と等しくなります。

t — 時点

ベクトル

時点。ベクトルとして返されます。t の長さは s の列数と等しくなります。t の各時間の値はウィンドウが適用されたセグメント x の中点になります。

詳細

フーリエ シンクロスクイーズド変換

音声波形、機械の振動、生体信号などの多くの現実世界の信号は、振幅変調および周波数変調のモードの重ね合わせで表現できます。時間-周波数解析の場合、信号を解析信号の和として次のように表現できるため便利です。

$$f(t)={\displaystyle \sum _{k=1}^K{f}_k(t)}={\displaystyle \sum _{k=1}^K{A}_k(t)e^{j2\pi {\varphi }_k(t)}}.$$

位相 ϕ_k(t) には時間導関数 dϕ_k(t)/dt があり、これは瞬時周波数に対応します。正確な位相がわからない場合は、フーリエ シンクロスクイーズド変換を使用して推定できます。

フーリエ シンクロスクイーズド変換は、関数 spectrogram に実装された短時間フーリエ変換をベースにしています。特定の非定常信号において、シンクロスクイーズド変換では、通常の変換よりもシャープな時間-周波数推定が生成されるため、再代入されたスペクトログラムとの類似性が高くなります。関数 fsst は、スペクトル ウィンドウ g を使用し、次の計算を実行して関数 f の短時間フーリエ変換を求めます。

$$V_{g}f(t,\eta )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)g(x-t)e^{-j2\pi \eta (x-t)}dx}.$$

通常の定義と違い、この定義には追加の係数の e^j2πηt があります。次に、変換値は時間-周波数平面で、瞬時周波数の曲線の周囲に集中するように "押し込まれ" ます。結果のシンクロスクイーズド変換は次の形式になります。

$$T_{g}f(t,\omega )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{V}_{g}f(t,\eta )\delta (\omega -{\Omega }_{g}f(t,\eta ))d\eta },$$

ここで、瞬時周波数は、次の "位相変換" によって推定されます。

$${\Omega }_{g}f(t,\eta )=\frac{1}{j2\pi }\frac{\frac{\partial }{\partial t}{V}_{g}f(t,\eta )}{V_{g}f(t,\eta )}=\eta -\frac{1}{j2\pi }\frac{V_{\partial g/\partial t}f(t,\eta )}{V_{g}f(t,\eta )}.$$

分母での変換は、ウィンドウの影響を減少させます。簡単な例については、近接した正弦波の検出を参照してください。T_gf(t,ω) の定義は、本書に記載されている他の式の 1/g(0) 倍という違いがあります。fsst は、モードの再構成のステップでこの係数を組み込みます。

再代入されたスペクトログラムと違い、シンクロスクイーズド変換は可逆性があり、このため信号を構成する個々のモードを再構成できます。短時間フーリエ変換の計算では、可逆性によりいくつかの制約が加わります。

• DFT 点の数は指定したウィンドウの長さに等しくなります。

• 隣り合ったウィンドウ セグメント間のオーバーラップは、ウィンドウの長さよりも 1 短くなります。

• 再割り当ては、周波数単位でのみ実行します。

モードを検出するには、Ω_gf(t,η) 付近の小さな周波数範囲でシンクロスクイーズド変換を積分します。

$$f_k(t)\approx \frac{1}{g(0)}{\displaystyle {\int }_{\left|\omega -{\Omega }_k(t)\right|<\epsilon }{T}_{g}f(t,\omega )d\omega },$$

ここで ɛ は小さい数です。

シンクロスクイーズド変換は、ウィンドウを適用した短時間フーリエ変換と比べて狭いリッジを生成します。ただし、短時間変換の幅は、依然として、シンクロスクイーズド変換のモードを分離する機能に影響します。解決可能にするには、モードが次の条件に従う必要があります。

1. それぞれのモードで、周波数は、振幅の変化率よりも厳密に大きくなる必要があります。すなわち、すべての k について $$\frac{d{\varphi }_k(t)}{dt}>\frac{d{A}_k(t)}{dt}$$ です。

2. 個々のモードは、最低でもウィンドウの周波数帯域で分離する必要があります。ウィンドウのサポートが [–Δ,Δ] の間隔の場合、k ≠ m のときに $$\left|\frac{d{\varphi }_k(t)}{dt}-\frac{d{\varphi }_m(t)}{dt}\right|>2\Delta$$ です。

詳細は、近接した正弦波の検出を参照してください。

参照

[1] Thakur, Gaurav, and Hau-Tieng Wu. “Synchrosqueezing-based Recovery of Instantaneous Frequency from Nonuniform Samples.” SIAM Journal of Mathematical Analysis. Vol. 43, 2011, pp. 2078–2095.

[2] Oberlin, Thomas, Sylvain Meignen, and Valérie Perrier. “The Fourier-based Synchrosqueezing Transform.” Proceedings of the 2014 IEEE^® International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), pp. 315–319.

[3] Auger, François, Patrick Flandrin, Yu-Ting Lin, Stephen McLaughlin, Sylvain Meignen, Thomas Oberlin, and Hau-Tieng Wu. “Time-Frequency Reassignment and Synchrosqueezing: An Overview.” IEEE Signal Processing Magazine. Vol. 30, November 2013, pp. 32–41.

参考

アプリ

• 信号アナライザー

関数

• ifsst | pspectrum | spectrogram | tfridge

トピック

• ヒルベルト変換および瞬時周波数
• 時間-周波数解析の実践的基礎

R2016b で導入

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