fcn2optimexpr

関数から最適化式への変換

構文

[out1,out2,...,outN] = fcn2optimexpr(fcn,in1,in2,...,inK)

[out1,out2,...,outN] = fcn2optimexpr(fcn,in1,in2,...,inK,Name,Value)

説明

[out1,out2,...,outN] = fcn2optimexpr(fcn,in1,in2,...,inK) は、関数 fcn(in1,in2,...,inK) を N 個の出力がある最適化式に変換します。

[out1,out2,...,outN] = fcn2optimexpr(fcn,in1,in2,...,inK,Name,Value) は、1 つ以上の名前と値のペアの引数を使用して追加オプションを指定します。たとえば、OutputSize を渡すことにより、関数評価を省略できます。

例

目的関数から式への変換

サポートされている関数で構成されていない問題ベースのアプローチで MATLAB® 関数を使用するには、まず、関数を最適化式に変換します。詳細については、最適化変数および式でサポートされる演算および非線形関数から最適化式への変換を参照してください。

目的関数 gamma (数学関数 $$\Gamma (x)$$、階乗関数の拡張) を使用し、最適化変数 x を作成して、変換された無名関数で使用するには、次のようにします。

x = optimvar('x');
obj = fcn2optimexpr(@gamma,x);
prob = optimproblem('Objective',obj);
show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       gamma(x)

得られた問題を解くには、初期点構造体を与え、solve を呼び出します。

x0.x = 1/2;
sol =  solve(prob,x0)

Solving problem using fminunc.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

sol = struct with fields:
    x: 1.4616

さらに複雑な関数の場合、関数ファイルを変換します。関数ファイル gammabrock.m は、2 つの最適化変数の目的関数を計算します。

type gammabrock

function f = gammabrock(x,y)
f = (10*(y - gamma(x)))^2 + (1 - x)^2;

この目的関数を問題に含めます。

x = optimvar('x','LowerBound',0);
y = optimvar('y');
obj = fcn2optimexpr(@gammabrock,x,y);
prob = optimproblem('Objective',obj);
show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x, y

	minimize :
       gammabrock(x, y)


	variable bounds:
       0 <= x

関数 gammabrock は二乗和です。この関数を最適化式の陽的な二乗和として表現すれば、より効率的に問題を定式化できます。

f = fcn2optimexpr(@(x,y)y - gamma(x),x,y);
obj2 = (10*f)^2 + (1-x)^2;
prob2 = optimproblem('Objective',obj2);

効率性の違いを確認するには、prob と prob2 を解き、反復回数の違いを検証します。

x0.x = 1/2;
x0.y = 1/2;
[sol,fval,~,output] = solve(prob,x0);

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

[sol2,fval2,~,output2] = solve(prob2,x0);

Solving problem using lsqnonlin.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

fprintf('prob took %d iterations, but prob2 took %d iterations\n',output.iterations,output2.iterations)

prob took 21 iterations, but prob2 took 2 iterations

関数に複数の出力がある場合、これらの出力を目的関数の要素として使用できます。この場合、u は 2 行 2 列の変数、v は 2 行 1 列の変数であり、expfn3 は 3 つの出力をもちます。

type expfn3

function [f,g,mineval] = expfn3(u,v)
mineval = min(eig(u));
f = v'*u*v;
f = -exp(-f);
t = u*v;
g = t'*t + sum(t) - 3;

適切なサイズの最適化変数を作成し、最初の 2 つの出力から目的関数を作成します。

u = optimvar('u',2,2);
v = optimvar('v',2);
[f,g,mineval] = fcn2optimexpr(@expfn3,u,v);
prob = optimproblem;
prob.Objective = f*g/(1 + f^2);
show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       u, v

	minimize :
       ((arg2 .* arg3) ./ (1 + arg1.^2))

       where:

           [arg1,~,~] = expfn3(u, v);
           [arg2,~,~] = expfn3(u, v);
           [~,arg3,~] = expfn3(u, v);

後続の制約式では出力 mineval を使用できます。

関数からの非線形制約の作成

問題ベースの最適化では、制約は、間に比較演算子 (==、<=、または >=) がある 2 つの最適化式です。fcn2optimexpr を使用していずれかまたは両方の最適化式を作成できます。非線形関数から最適化式への変換を参照してください。

gammafn2 が –1/2 以下であるという非線形制約を作成します。この 2 変数の関数は gammafn2.m ファイルにあります。

type gammafn2

function f = gammafn2(x,y)
f = -gamma(x)*(y/(1+y^2));

最適化変数を作成し、関数ファイルを最適化式に変換して、制約を confn として表します。

x = optimvar('x','LowerBound',0);
y = optimvar('y','LowerBound',0);
expr1 = fcn2optimexpr(@gammafn2,x,y);
confn = expr1 <= -1/2;
show(confn)

  gammafn2(x, y) <= -0.5

gammafn2 が x + y 以上になるという別の制約を作成します。

confn2 = expr1 >= x + y;

最適化問題を作成し、制約を問題に配置します。

prob = optimproblem;
prob.Constraints.confn = confn;
prob.Constraints.confn2 = confn2;
show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x, y

	minimize :

	subject to confn:
       gammafn2(x, y) <= -0.5

	subject to confn2:
       gammafn2(x, y) >= (x + y)

	variable bounds:
       0 <= x

       0 <= y

共通の目的関数と制約の効率的な計算

目的関数および非線形制約を計算するのに、時間がかかる共通の関数が問題に含まれる場合、名前と値の引数 ReuseEvaluation を使用することにより、時間を短縮できます。関数 rosenbrocknorm は、Rosenbrock 目的関数と、制約 $$\Vert x{\Vert }^2\le 4$$ に使用する引数のノルム値の両方を計算します。

type rosenbrocknorm

function [f,c] = rosenbrocknorm(x)
pause(1) % Simulates time-consuming function
c = dot(x,x);
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

2 次元最適化変数 x を作成します。その後、fcn2optimexpr を使用して rosenbrocknorm を最適化式に変換し、名前と値の引数 ReuseEvaluation を true に設定します。fcn2optimexpr が pause ステートメントを維持するようにするには、名前と値の引数 Analysis を 'off' に設定します。

x = optimvar('x',2);
[f,c] = fcn2optimexpr(@rosenbrocknorm,x,...
    'ReuseEvaluation',true,'Analysis','off');

返された式から目的関数と制約式を作成します。目的関数と制約式を最適化問題に含めます。show を使用して問題を確認します。

prob = optimproblem('Objective',f);
prob.Constraints.cineq = c <= 4;
show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       [argout,~] = rosenbrocknorm(x)


	subject to cineq:
       arg_LHS <= 4

       where:

         [~,arg_LHS] = rosenbrocknorm(x);
     

初期点 x0.x = [-1;1] から始めて、結果が出るまでにかかる時間を測定しながら、問題を解きます。

x0.x = [-1;1];
tic
[sol,fval,exitflag,output] = solve(prob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

sol = struct with fields:
    x: [2×1 double]

fval = 4.5793e-11

exitflag = 
    OptimalSolution

output = struct with fields:
              iterations: 44
               funcCount: 164
         constrviolation: 0
                stepsize: 4.3124e-08
               algorithm: 'interior-point'
           firstorderopt: 5.1691e-07
            cgiterations: 10
                 message: 'Local minimum found that satisfies the constraints.↵↵Optimization completed because the objective function is non-decreasing in ↵feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,↵and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.↵↵<stopping criteria details>↵↵Optimization completed: The relative first-order optimality measure, 5.169074e-07,↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and the relative maximum constraint↵violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-06.'
            bestfeasible: [1×1 struct]
     objectivederivative: "finite-differences"
    constraintderivative: "finite-differences"
                  solver: 'fmincon'

toc

Elapsed time is 165.623157 seconds.

求解にかかる時間 (秒単位) は関数評価の回数とほぼ同じです。この結果は、ソルバーが関数値を再利用しており、同じ点を 2 回再評価することによって時間を無駄にしなかったことを示しています。

より広範囲な例は、共通の関数を持つ目的関数と制約の逐次評価または並列評価、問題ベースを参照してください。fcn2optimexpr の使用に関する詳細については、非線形関数から最適化式への変換を参照してください。

入力引数

fcn — 変換する関数

関数ハンドル

変換する関数。関数ハンドルとして指定します。

例: @sin は正弦関数を指定します。

データ型: function_handle

in — 入力引数

MATLAB^® 変数

入力引数。MATLAB 変数として指定します。入力は任意のデータ型とサイズをとることができます。任意の問題変数または定数データを入力引数 in に含めることができます。問題ベースのアプローチでの追加パラメーターの受け渡しを参照してください。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char | string | struct | table | cell | function_handle | categorical | datetime | duration | calendarDuration | fi
複素数のサポート: あり

名前と値の引数

オプションの引数のペアを Name1=Value1,...,NameN=ValueN として指定します。ここで、Name は引数名で、Value は対応する値です。名前と値の引数は他の引数の後に指定しなければなりませんが、ペアの順序は重要ではありません。

R2021a より前では、コンマを使用して名前と値をそれぞれ区切り、Name を引用符で囲みます。

例: [out1,out2] = fcn2optimexpr(@fun,x,y,'OutputSize',[1,1],'ReuseEvaluation',true) は、out1 および out2 が目的関数と制約関数の間で再計算なしでソルバーが再利用するスカラーであることを指定します。

Analysis — 関数解析の指定

"on" (既定値) | "off"

関数 fcn の解析の指定。"on" または "off" で指定します。最速かつ最適なソルバーとアルゴリズムを使用するために、fcn2optimexpr アルゴリズムの説明の手順が実行されます。

Analysis が "on" の場合に最初に試みられる静的解析については、最適化式の静的解析で説明します。

関数を解析すると、fcn がサポートされている演算のみで構成されるかどうかが判定されます (最適化変数および式でサポートされる演算を参照)。その場合は、自動微分を使用できます。

fcn2optimexpr で fcn を解析せず、したがって fcn を自動微分なしのブラック ボックスとして扱う場合は、"off" を指定します。この場合、solve は fmincon や ga などの非線形ソルバーのみを使用し、linprog や quadprog などの線形ソルバーまたは二次ソルバーは使用しません。

Analysis の効果の詳細については、制限を参照してください。

例: [out1,out2] = fcn2optimexpr(@fun,x,"Analysis","off")

データ型: char | string

Display — 関数解析の詳細レポート

"off" (既定値) | "on"

関数解析の詳細をレポートします。"off" (レポートしない) または "on" (レポートする) として指定します。Analysis が "off" の場合、何もレポートされません。

例: [out1,out2] = fcn2optimexpr(@fun,x,"Display","on")

データ型: char | string

OutputSize — 出力式のサイズ

整数ベクトル | 整数ベクトルの cell 配列

出力式のサイズ。次のように指定します。

• 整数ベクトル — 関数が 1 つの出力 out1 をもつ場合、OutputSize は out1 のサイズを指定します。関数が複数の出力 out1 ～ outN をもつ場合、OutputSize はすべての出力のサイズが同じであることを指定します。

• 整数ベクトルの cell 配列 — 出力 outj のサイズは、OutputSize の j 番目の要素です。

メモ

スカラーのサイズは [1,1] です。

名前/値のペアの引数 'OutputSize' を指定しない場合、出力のサイズを決定するために、fcn2optimexpr によって fcn にデータが渡されます (アルゴリズムを参照)。'OutputSize' を指定することにより、fcn2optimexpr にこの手順をスキップさせて、時間を短縮できます。また、'OutputSize' を指定せず、何らかの理由で fcn の評価が失敗した場合、fcn2optimexpr も失敗します。

例: [out1,out2,out3] = fcn2optimexpr(@fun,x,'OutputSize',[1,1]) は、3 つの出力 [out1,out2,out3] がスカラーであることを指定します。

例: [out1,out2] = fcn2optimexpr(@fun,x,'OutputSize',{[4,4],[3,5]}) は、out1 のサイズが 4 行 4 列であり、out2 のサイズが 3 行 5 列であることを指定します。

データ型: double | cell

ReuseEvaluation — 値を再利用するための指標

false (既定値) | true

値を再利用するための指標。false (再利用不可) または true (再利用可能) として指定します。

メモ

Analysis="on" のとき、ReuseEvaluation は効果がない場合があります。

スレッドベースの並列プールでは、ReuseEvaluation はサポートされていません。

ReuseEvaluation を使用すると、目的関数と一部の非線形制約が共通の計算に依存する場合などに、問題の実行を高速化できます。この場合、ソルバーは値を保存して必要な場合に再利用し、値の再計算を回避します。

再利用可能な値には多少のオーバーヘッドが伴うため、再利用可能な値は、値を共有している式に対してのみ有効にすることをお勧めします。

例: [out1,out2,out3] = fcn2optimexpr(@fun,x,"ReuseEvaluation",true,"Analysis","off") とすると、out1、out2、および out3 が複数の計算で使用され、評価点ごとに 1 回のみ出力が計算されるようになります。

データ型: logical

出力引数

out — 出力引数

OptimizationExpression

出力引数。OptimizationExpression として返されます。式のサイズは入力関数に依存します。

制限

Analysis は計算をしない関数を無視可能

• Analysis アルゴリズムには、計算をしない関数が含まれない場合があります。アルゴリズムにはこのような特徴があるため、次のような結果になります。

  • pause ステートメントは無視されます。

  • 結果に影響しないグローバル変数は無視される可能性があります。たとえば、グローバル変数を使用して関数の実行回数をカウントすると、誤った回数を得る場合があります。

  • rand または rng の呼び出しが関数に含まれている場合、関数は 1 回目のみ呼び出しを実行すると考えられますが、その後の呼び出しでは乱数ストリームが設定されません。

  • plot を呼び出しても、すべての反復で Figure が更新されない場合があります。

  • mat ファイルまたはテキスト ファイルへのデータの保存は、すべての反復で実行されない場合があります。

• 計算をしない関数が想定したとおりに動作するには、名前と値の引数 Analysis を "off" に設定します。

詳細については、静的解析の制限を参照してください。

アルゴリズム

解析

引数 Analysis が既定の設定である "on" の場合、fcn2optimexpr は最も効率的な最適化式の作成を試みるためにいくつかのステップを実行します。アルゴリズムの説明については、fcn2optimexpr アルゴリズムの説明を参照してください。

問題オブジェクトに目的関数や非線形制約関数を含める場合、いくつかの選択肢があります。

• オーバーロードを使用します。関数内のすべての演算が最適化変数および式でサポートされる演算の場合は、最適化変数で関数を直接呼び出すことができます。以下に例を示します。

  prob.Objective = sin(3*x)*exp(-x-y);

• 修正されていない関数で、fcn2optimexpr を使用します。関数内の演算が 1 つでもサポートされていない場合は、fcn2optimexpr を呼び出す必要があります。たとえば、関数 besselh はサポートされていないため、この関数を目的関数に含めるには、fcn2optimexpr を使用する必要があります。

  prob.Objective = fcn2optimexpr(@(z)besselh(3,z),x);

• 関数の内部 for ループが別の関数に表示されるように関数を修正します。そうすることで、静的解析によりループを高速化できます。詳細については、静的解析のための for ループの作成および最適化式の静的解析を参照してください。

• fcn2optimexpr で引数 Analysis を "off" に設定します。そうすることで、fcn2optimexpr によって関数がブラック ボックスとしてラップされ、操作が高速になります。結果として得られる式は自動微分を利用できないため (自動微分の背景を参照)、ソルバーが有限差分勾配推定のために多くの関数評価を使用する原因となります。

出力サイズ

OutputSize を指定しない場合に返されるそれぞれの式の出力サイズを確認するために、fcn2optimexpr は問題変数の各要素について次の点で関数を評価します。

変数の特性	評価点
上限 ub および下限 lb がある	(lb + ub)/2 + ((ub - lb)/2)*eps
下限はあるが上限がない	lb + max(1,abs(lb))*eps
上限はあるが下限がない	ub - max(1,abs(ub))*eps
範囲なし	1 + eps
変数が整数として指定される	あらかじめ与えられた点の floor

評価点によって、関数評価で誤差が発生することがあります。このエラーを回避するには、OutputSize を指定します。

バージョン履歴

R2019a で導入

参考

トピック

• 問題ベースの最適化ワークフロー
• fcn2optimexpr アルゴリズムの説明
• 非線形関数から最適化式への変換
• 最適化式
• 問題ベースのアプローチでの追加パラメーターの受け渡し
• 静的解析のための for ループの作成