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ilu

不完全 LU 分解

構文

ilu(A,setup) [L,U] = ilu(A,setup) [L,U,P] = ilu(A,setup)

説明

関数 ilu は、単位下三角行列、上三角行列、および置換行列を生成します。

ilu(A,setup) は A の不完全 LU 分解を計算します。setup は最大 5 つの設定オプションをもつ入力構造体です。フィールドの名前は、次の表に示されているとおりに指定しなければなりません。構造体には、これらの任意の数のフィールドを任意の順序で定義できます。余分なフィールドは無視されます。

フィールド名	説明
`type`	分解のタイプ。`type` の値を以下に示します。 `'nofill'`(既定の設定)—ILU(0) としても知られる、`0` レベルの要素を満たす ILU 分解を実行します。`type` が `'nofill'` に設定されている場合、`milu` 設定オプションのみが使用されます。すべての他のフィールドは無視されます。 `'crout'`—Crout バージョンの ILU 分解 (ILUC と呼ばれる) を実行します。`type` が `'crout'` に設定されている場合、`droptol` 設定オプションと `milu` 設定オプションのみが使用され、その他すべてのフィールドは無視されます。 `'ilutp'` —しきい値とピボットを使用した ILU 分解を実行します。 `type` を指定しない場合は、`0` レベルの要素を満たす ILU 分解が実行されます。ピボットは、`type` が `'ilutp'` に設定されている場合にのみ実行されます。
`droptol`	不完全 LU 分解の棄却許容誤差。`droptol` は、負でないスカラーです。既定値は `0` で、完全な LU 分解を行います。 `U` の非ゼロ要素は、次の式を満たします。 abs(U(i,j)) >= droptolnorm(A(:,j)), ただし、対角要素は例外で、これは、この条件を満たすかどうかに関係なく保持されます。`L` の要素は、ピボットによってスケーリングされる前にローカルな棄却許容誤差に対してテストされるので、`L` の非ゼロ要素に対して、以下のようになります。 abs(L(i,j)) >= droptolnorm(A(:,j))/U(j,j).
`milu`	変更された不完全 LU 分解。`milu` の値を以下に示します。 `'row'`—行和で変更された不完全 LU 分解を行います。因子の新しく形成された列のエントリは、上三角因子の対角 `U` から引かれ、列の合計が保持されます。つまり、`Ae = LUe` になります。ここで、`e` は、ベクトルです。 `'col'`—列和で変更された不完全 LU 分解を行います。因子の新しく形成された列のエントリは、上三角因子の対角 `U` から引かれ、列の合計が保持されます。つまり、`e'A = e'LU` です。 `'off'` (既定の設定)—変更された不完全 LU 分解は行われません。
`udiag`	`udiag` が `1` の場合、上三角因子の対角にあるゼロは、ローカルな棄却許容誤差に置き換えられます。既定値は `0` です。
`thresh`	`0` (対角ピボットを強制) および `1` (既定の設定) 間のピボットしきい値。既定では、常に、列の最大要素がピボットに選択されます。

ilu(A,setup) は、L+U-speye(size(A)) を返します。L は単位下三角行列で、U は上三角行列です。

[L,U] = ilu(A,setup) は L に単位下三角行列、U に上三角行列を返します。

[L,U,P] = ilu(A,setup) は、L に単位下三角行列、U に上三角行列、P に置換行列を返します。

制限

関数 ilu は、正方スパース行列にのみ動作します。

例

スパース行列に対して、LU 分解を計算します。

A = gallery('neumann', 1600) + speye(1600);
setup.type = 'crout';
setup.milu = 'row';
setup.droptol = 0.1;
[L,U] = ilu(A,setup);
e = ones(size(A,2),1);
norm(A*e-L*U*e)

ans =

  1.4251e-014

これは、A および L*U が、L と U が変更された Crout ILU に提供される場合、行和が同じであることを示しています。

スパース行列に対して、LU 分解を計算します。

A = gallery('neumann', 1600) + speye(1600);
setup.type = 'nofill';
nnz(A)
ans =

        7840

nnz(lu(A))
ans =

      126478

nnz(ilu(A,setup))
ans =

        7840

これは、A に 7840 の非ゼロ、不完全 LU 分解に 126478 の非ゼロ、0 レベルの要素を満たす LU 分解に 7840 (A の場合と同量) の非ゼロがあることを示しています。