ストリーミング逆行列 System object の HDL コード生成

この例では、HDL Coder™ でサイズの構成が可能なストリーミングモードの逆行列演算を実装する方法を示します。

行列の逆行列とは

行列 X は、XY = YX = I となる同じサイズの行列 Y が存在する場合に可逆となります (I は単位行列)。この行列 Y を X の逆行列と呼びます。逆行列のない行列は特異行列です。正方行列は、行列式が正確にゼロの場合のみ特異行列となります。

逆行列の計算手順は次のとおりです。

余因子行列の計算
余因子行列の転置
入力行列の行列式の逆数と転置した余因子行列の乗算

例:

             A = [4 12 -16;12 37 -43;-16 -43 98];
Cofactors of 'A' will be calculated from matrix of minors
        cof(A) = [1777 488 76;488 136 20;76 20 4];

Transpose of cofactor matrix will be
     (cof(A))' = [1777 488 76;488 136 20;76 20 4];

Multiply reciprocal of determinant of 'A' with transpose of cofactor matrix
          Ainv = (1/det(A)) * (cof(A))'
               = [49.3611 -13.5556 2.1111;-13.5556 3.7778 -0.5556;2.1111 -0.5556 0.1111];

逆行列: ガウスジョルダン消去法

ガウスジョルダン消去法を使用して行列 A の逆行列を求めるには、A を単位行列 (I) に変形する基本行演算を求め、同じ演算を単位行列 (I) に対して実行して Ainv を取得しなければなりません。

ガウスジョルダン消去法を使用した逆行列の計算: 最初に行列 A を記述し、その横に [A | I] として単位行列を記述します。

目的は、行変換を適用して A を単位行列にし、右側の行列 I も行変換に加えて最終的に Ainv を得ることです。

Ainv の計算手順は次のとおりです。

行を入れ替える
対角要素を 1 にする
非対角要素を 0 にする

例:

                    (A)       (I)
                  1  2  3 | 1  0  0
      [A | I] =   2  5  3 | 0  1  0
                  1  0  8 | 0  0  1

Find the element with maximum value in the first column and swap the current
row with maximum element row
          swap R1 and R2 rows as R2 contains the largest values.

                  2  5  3 | 0  1  0
              =   1  2  3 | 1  0  0
                  1  0  8 | 0  0  1

Make the diagonal element in the first column as '1'
          R1 --> R1/2

                  1 2.5 1.5 | 0 0.5 0
              =   1   2   3 | 1   0 0
                  1   0   8 | 0   0 1
Make the non-diagonal elements in the first column as '0'
          R2 --> R2 - R1
          R3 --> R3 - R1

                  1  2.5 1.5 | 0  0.5 0
              =   0 -0.5 1.5 | 1 -0.5 0
                  0 -2.5 6.5 | 0 -0.5 1

Now column 1 has diagonal elements '1' and other elements as
'0'. This procedure is repeated for remaining columns and matrix A
will be reduced to identity matrix, Identity matrix will be reduced to Ainv.

                  1  0  0 | -40  16   9
              =   0  1  0 |  13  -5  -3
                  0  0  1 |   5  -2  -1
                    (I)        (Ainv)

逆行列: コレスキー分解

コレスキー分解を使用した逆行列では、対称正定値行列のみがサポートされます。正定値とは、行列のすべての固有値が正となることを意味します。

次の対称正定値行列 A について考えます。

           A   = L * L',             L  is the lower triangular matrix
                                     L' is the transpose of L

       inv(A)  = inv(L * L')
               = inv(L') * inv(L)
               = (inv(L))' * inv(L)

       Ainv    = Linv' * Linv,       Linv is the inverse of lower triangular matrix
                                     Ainv is the inverse of input matrix

Ainv の計算手順は次のとおりです。

下三角行列の計算 (L)
下三角行列の逆行列の計算 (Linv)
Linv と転置した Linv の乗算

例:

             A = [4 12 -16;12 37 -43;-16 -43 98];

Lower triangular matrix(L) will be computed using cholesky decomposition
             L = [2 0 0;6 1 0;-8 5 3];

Linv will be computed using forward substitution method
          Linv = [0.5 0 0;-3 1 0;6.3333 -1.6667 0.3333];

Multiply transpose of Linv with Linv
          Ainv = Linv' * Linv
               = [49.3611 -13.5556 2.1111;-13.5556 3.7778 -0.5556;2.1111 -0.5556 0.1111];

ガウスジョルダン消去法を使用する利点

ガウスジョルダン消去法はすべての正方行列をサポートします。
ガウスジョルダン消去法は single と double の両方のデータ型をサポートします。

コレスキーの実装の制限

逆行列を計算する行列は対称正定値でなければなりません。
行列の入力データ型は single でなければならず、ブロックを Native Floating Point モードで使用しなければなりません。
入力行列のサイズは 64 行 64 列まででなければなりません。

Matrix Inverse のサブシステムのインターフェイス:

Matrix Inverse の端子の説明:

Matrix Inverse の実装

このモデル例には、InputSubsystem、MatrixInverse、および OutputSubsystem の 3 つのサブシステムがあります。上流の InputSubsystem は、ready 信号がイネーブルの場合に行列入力を処理モジュールに直列化するモジュールです。下流の OutputSubsystem は、outEnable 信号がイネーブルの場合に処理モジュールから行列出力にデータを逆シリアル化するモジュールです。MatrixInverse は、逆行列演算を実装する処理モジュールです。

open_system('hdlcoder_streaming_mat_inv_max_lat_cholesky');
open_system('hdlcoder_streaming_mat_inv_max_lat_gauss_jordan');

逆行列のタイミング図:

完全なシステムのタイミング図:

処理段階のタイミング図 (コレスキー分解):

処理段階のタイミング図 (ガウスジョルダン消去法):

Modelsim の結果の波形 (コレスキー分解)

Modelsim の結果の波形 (ガウスジョルダン消去法)

Matrix Inverse ブロックのパラメーター:

MatrixSize      : Enter size of input matrix as a positive integer.

LatencyStrategy : Select latency strategy from drop down menu
                   ({'ZERO, 'MIN', 'MAX'}) which should be same as HDL coder
                   latency strategy. User can see processing latency
                   based on the latency strategy.
AlgorithmType   : Select algorithm type from drop down menu({'CholeskyDecomposition',
                   'GaussJordanElimination'})