Main Content

このページは機械翻訳を使用して翻訳されました。元の英語を参照するには、ここをクリックします。

パターン検索オプションの効果、問題ベース

この例では、問題ベースのアプローチにおけるパターン検索のいくつかのオプションの効果を示します。オプションには、プロット、停止基準、およびソリューションを高速化するためのその他のアルゴリズム制御が含まれます。patternsearch アルゴリズムで使用可能なオプションのリストについては、パターン検索アルゴリズムのオプションテーブル を参照してください。

パターン検索の問題を設定する

最小化する問題は、線形等式制約と不等式制約に従う 6 つの変数の二次関数です。この例を実行すると、目的関数 lincontest7 が使用可能になります。

type lincontest7
function y = lincontest7(x)
%LINCONTEST7 objective function.
%   y = LINCONTEST7(X) evaluates y for the input X. Make sure that x is a column 
%   vector, whereas objective function gets a row vector.

%   Copyright 2003-2017 The MathWorks, Inc.
x = x(:);

%Define a quadratic problem in terms of H and f 
H = [36 17 19 12  8 15; 
     17 33 18 11  7 14; 
     19 18 43 13  8 16;
     12 11 13 18  6 11; 
      8  7  8  6  9  8; 
     15 14 16 11  8 29];

f = [ 20 15 21 18 29 24 ]';
 
y = 0.5*x'*H*x + f'*x;

6 要素の最適化変数 x を行ベクトルとして作成します。

x = optimvar("x",1,6);

目的関数 lincontest7(x) を使用して最適化問題を作成します。

prob = optimproblem("Objective",lincontest7(x));

最適化の初期ポイントを指定します。

x0.x = [2 1 0 9 1 0];

制約 Aineq*x' <= BineqAeq*x' = Beq の線形制約マトリックスを作成します。x は行ベクトルなので、これらの制約では x' を使用する必要があります。

Aineq = [-8 7 3 -4 9 0 ];
Bineq = [7];
Aeq = [7 1 8 3 3 3; 5 0 5 1 5 8; 2 6 7 1 1 8; 1 0 0 0 0 0];
Beq = [84 62 65 1]';
prob.Constraints.Aineq = Aineq*x' <= Bineq;
prob.Constraints.Aeq = Aeq*x' == Beq;

patternsearch ソルバーを実行し、解に到達するまでに必要な反復回数と関数評価回数を記録します。

[sol,Fval,eflag,output] = solve(prob,x0,"Solver","patternsearch");
Solving problem using patternsearch.
patternsearch stopped because the mesh size was less than options.MeshTolerance.
fprintf('The number of iterations is: %d\n', output.iterations);
The number of iterations is: 76
fprintf('The number of function evaluations is: %d\n', output.funccount);
The number of function evaluations is: 709
fprintf('The best function value found is: %g\n', Fval);
The best function value found is: 2189.18

視覚化を追加

2 つのプロット関数を選択するオプションを指定して、最適化プロセスを監視します。プロット関数 psplotbestf は、各反復における最適な目的関数の値をプロットし、プロット関数 psplotfuncount は、各反復で目的関数が評価される回数をプロットします。これら 2 つのプロット関数をセル配列に設定します。

opts = optimoptions(@patternsearch,"PlotFcn",{@psplotbestf,@psplotfuncount});

opts 引数を含めて patternsearch ソルバーを実行します。

[sol2,Fval2,eflag2,output2] = solve(prob,x0,"Solver","patternsearch",...
    "Options",opts);
Solving problem using patternsearch.
patternsearch stopped because the mesh size was less than options.MeshTolerance.

メッシュオプション

パターン検索では、メッシュ内のポイントで目的関数を評価します。メッシュのサイズは解析の速度に影響を与える可能性があります。オプションを設定することでメッシュのサイズを制御できます。

初期メッシュ サイズ

各反復におけるメッシュは、現在のメッシュ サイズによって拡大縮小され、現在のポイントに追加される一連の検索方向の範囲です。デフォルトでは、ソルバーは初期メッシュ サイズ 1 で開始されます。初期メッシュ サイズを 1/2 から開始するには、InitialMeshSize オプションを設定します。これにより、初期点がサイズ 1 のメッシュに対して適切である場合に、反復と複数の関数評価を節約できます。

opts = optimoptions(opts,'InitialMeshSize',1/2);

メッシュのスケーリング

メッシュをスケーリングして、スケーリングが不十分な最適化問題の最小化を改善できます。スケーリングでは、パターンをある程度回転し、検索方向に沿ってスケーリングします。ScaleMesh オプションはデフォルトでオン (true) になっていますが、問題が適切にスケーリングされている場合はオフにすることができます。一般に、問題のスケーリングが不十分な場合は、このオプションを true に設定すると、関数評価の回数を減らすことができます。この問題では、lincontest7 が適切にスケーリングされた目的関数であるため、ScaleMeshfalse に設定します。

opts = optimoptions(opts,'ScaleMesh',false);

メッシュ アクセラレータ

直接探索法では、導関数ベースの最適化法と比較して、多くの関数評価が必要になります。パターン検索アルゴリズムは、最適点の近傍を素早く見つけることができますが、最小値自体の検出には時間がかかる場合があります。patternsearch ソルバーは、アクセラレータを使用することで関数評価の回数を減らすことができます。アクセラレータがオンの場合 (opts.AccelerateMesh = true)、ソルバーは最小メッシュ サイズに達した後、メッシュ サイズを急速に縮小します。このオプションは滑らかな問題にのみ推奨されます。他の種類の問題では、精度が多少低下する可能性があります。AccelerateMesh オプションはデフォルトではオフ (false) になっています。この問題では、目的関数が滑らかであるため、AccelerateMeshtrue に設定します。

opts = optimoptions(opts,'AccelerateMesh',true);

patternsearch ソルバーを実行します。

[sol3,Fval3,eflag3,output3] = solve(prob,x0,"Solver","patternsearch",...
    "Options",opts);
Solving problem using patternsearch.
patternsearch stopped because the mesh size was less than options.MeshTolerance.

fprintf('The number of iterations is: %d\n', output3.iterations);
The number of iterations is: 144
fprintf('The number of function evaluations is: %d\n', output3.funccount);
The number of function evaluations is: 753
fprintf('The best function value found is: %g\n', Fval3);
The best function value found is: 2189.18

メッシュ オプション設定により、反復回数と関数評価回数が削減されますが、精度の低下は見られません。

停止基準と許容範囲

MeshTolerance はメッシュ サイズの許容値です。メッシュ サイズが MeshTolerance 未満の場合、ソルバーは停止します。StepTolerance は、現在のポイントから次のポイントへの変化の最小許容値です。FunctionTolerance は、現在のポイントから次のポイントへの関数値の変化の最小許容値です。

MeshTolerance をデフォルト値の 10 分の 1 の 1e-7 に設定します。この設定により、関数の評価と反復の回数が増え、より正確なソリューションが得られる可能性があります。

opts.MeshTolerance = 1e-7;

パターン検索における検索方法

パターン検索アルゴリズムは、SearchFcn オプションの値に基づいて、反復ごとに追加の検索方法を使用できます。SearchFcn を使用して検索方法を指定すると、patternsearch はメッシュ検索の前に指定された検索を最初に実行します。検索方法が成功した場合、patternsearch はその反復処理でメッシュ検索 (一般にポーリング関数と呼ばれる) をスキップします。検索方法で現在のポイントを改善できなかった場合、patternsearch はメッシュ検索を実行します。

SearchFcn には、最適化アルゴリズムである searchgasearchneldermead など、さまざまな検索方法を指定できます。これら 2 つの検索方法は、デフォルト設定である最初の反復でのみ使用します。これらのいずれかの方法をすべての反復で使用しても、結果が改善されない可能性があり、計算コストが高くなる可能性があります。ただし、反復ごとに、または場合によっては 10 反復ごとにラテン超方格点を生成する searchlhs メソッドを使用できます。

検索方法の他の選択肢には、正の基底 N+1 や正の基底 2N などのポーリング方法があります。推奨される戦略は、検索方法として正基底 N+1 (パターンを作成するために最大 N+1 ポイントが必要) を使用し、ポーリング方法として正基底 2N (パターンを作成するために 2N ポイントが必要) を使用することです。

検索方法として positivebasisnp1 を使用するようにオプション構造を更新します。PollFcn オプションでは正の基底 2N がデフォルトなので、このオプションを設定しないでください。

opts.SearchFcn = @positivebasisnp1;

patternsearch ソルバーを実行します。

[sol4,Fval4,eflag4,output4] = solve(prob,x0,"Solver","patternsearch",...
    "Options",opts);
Solving problem using patternsearch.
patternsearch stopped because the mesh size was less than options.MeshTolerance.

fprintf('The number of iterations is: %d\n', output4.iterations);
The number of iterations is: 48
fprintf('The number of function evaluations is: %d\n', output4.funccount);
The number of function evaluations is: 605
fprintf('The best function value found is: %g\n', Fval4);
The best function value found is: 2189.18

メッシュ許容値が以前の値よりも小さくなり、ソルバーを停止する停止基準になったとしても、反復と関数評価の合計数は減少します。

参考

|

関連するトピック