fixed.qlessQR

Q-less QR 分解

構文

R = fixed.qlessQR(A)

R = fixed.qlessQR(A,forgettingFactor)

R = fixed.qlessQR(A,[],regularizationParameter)

R = fixed.qlessQR(A,forgettingFactor,regularizationParameter)

説明

R = fixed.qlessQR(A) は、QR 分解 A = QR の上三角因子 R を返します。

これは以下を計算することと等価です。

[~,R] = qr(A)

R = fixed.qlessQR(A,forgettingFactor) は、QR 分解の上三角因子 R を返し、A の各行の処理前に R を forgettingFactor で乗算します。

R = fixed.qlessQR(A,[],regularizationParameter) は、$$\left[\begin{array}{c}\lambda I_n\\ A\end{array}\right]$$ の QR 分解の上三角因子 R を返します。ここで、A は m 行 n 列の行列、λ は regularizationParameter です。

R = fixed.qlessQR(A,forgettingFactor,regularizationParameter) は、次の QR 分解の上三角因子 R を返します。

$$\left[\begin{array}{c}{\alpha }^m\lambda I_n\\ \left[\begin{array}{cccc}{\alpha }^m& & & \\ & {\alpha }^{m-1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & \alpha \end{array}\right]A\end{array}\right]$$

ここで、α は forgettingFactor、λ は regularizationParameter、A は m 行 n 列の行列です。

例

前進代入と後退代入を使用した連立方程式の求解

この例では、前進代入と後退代入を使用して連立方程式 ${(\mathit{A}}^{\prime }\mathit{A})\mathit{x}=\mathit{B}$ を解く方法を示します。

入力変数 A および B を指定します。

rng default;
A = gallery('randsvd', [5,3], 1000);
b = [1; 1; 1; 1; 1];

A の上三角因子 R を計算します。ここで、$\mathit{A}=\mathit{QR}$ です。

R = fixed.qlessQR(A);

前進代入と後退代入を使用して X の値を計算します。

X = fixed.forwardSubstitute(R,b);
X(:) = fixed.backwardSubstitute(R,X)

X = 5×1
105 ×

   -0.9088
    2.7123
   -0.8958
         0
         0

この解は関数 fixed.qlessQRMatrixSolve を使用した場合と等価です。

x = fixed.qlessQRMatrixSolve(A,b) 

x = 5×1
105 ×

   -0.9088
    2.7123
   -0.8958
         0
         0

忘却係数を使用した上三角行列因子の計算

関数 fixed.qlessQR で忘却係数を使用することは、Complex および Real Partial-Systolic Q-less QR with Forgetting Factor ブロックとほぼ等価です。これらのブロックは、入力行列を 1 行ずつ処理し、各行の処理前に忘却係数を適用します。関数 fixed.qlessQR は A の行を一度にすべて受け取りますが、これらのブロックと同じ方法で計算を実行します。各行の処理前に忘却係数が適用されます。

忘却係数の指定は、データを無制限に累積することなく不定数の行を連続的にストリーミングする場合に役立ちます (センサー アレイから値を連続的に読み取る場合など)。

忘却係数を使用しない場合、累積は行数の平方根になるため、10,000 行は $\sqrt{10000}=100$ に累積されます。

A = ones(10000,3);
R = fixed.qlessQR(A)

R = 3×3

  100.0000  100.0000  100.0000
         0    0.0000    0.0000
         0         0    0.0000

有効な高さ m=16 行で累積するには、忘却係数を以下に設定します。

m=16;
forgettingFactor = exp(-1/(2*m))

forgettingFactor = 
0.9692

この忘却係数を使用すると、fixed.qlessQR は 16 のおおよその平方根に累積します。

R = fixed.qlessQR(A,forgettingFactor)

R = 3×3

    3.9377    3.9377    3.9377
         0    0.0000    0.0000
         0         0    0.0000

入力引数

A — 入力行列

行列

入力行列。行列として指定します。

データ型: single | double | fi
複素数のサポート: あり

forgettingFactor — 忘却係数

非負のスカラー

忘却係数。0 ～ 1 の非負のスカラーとして指定します。忘却係数によって、過去のデータに指定される重みが決まります。forgettingFactor の値は、A の各行の処理前に R に乗算されます。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | fi

regularizationParameter — 正則化パラメーター

0 (既定値) | 非負のスカラー

正則化パラメーター。非負のスカラーとして指定します。正則化パラメーターを小さい正の値にすると、問題の調整を向上させ、推定値の分散を小さくすることができます。バイアスがありますが、推定値の分散が小さいと、多くの場合、最小二乗推定値と比べて平均二乗誤差が小さくなります。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | fi

出力引数

R — 上三角因子

行列

上三角因子。A = QR を満たす行列として返されます。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

倍精度、単精度および固定小数点データ型のコードを生成します。

固定小数点の変換

Fixed-Point Designer™ を使用して固定小数点システムの設計とシミュレーションを行います。

A は符号付きで、2 進小数点スケーリングを使用しなければなりません。傾きとバイアス表現は固定小数点データ型ではサポートされていません。

バージョン履歴

R2020b で導入

R2022a: Tikhonov 正則化パラメーターのサポート

関数 fixed.qlessqr で Tikhonov 正則化パラメーターregularizationParameterがサポートされるようになりました。

参考

fixed.backwardSubstitute | fixed.forwardSubstitute | fixed.qlessQRUpdate | fixed.qrAB | fixed.qrMatrixSolve | fixed.qlessQRMatrixSolve

トピック

• Determine Fixed-Point Types for Q-less QR Decomposition
• Compute Forgetting Factor Required for Streaming Input Data