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根軌跡の設計

根軌跡の設計は一般的な制御システムの設計法であり、根軌跡図上で補償器のゲイン、極および零点を編集します。

制御システムの開ループ ゲイン k は値の連続幅に応じて変化することから、根軌跡図はフィードバック システムの閉ループ極の軌跡を示します。たとえば、次の追従システムでは

P(s) はプラント、H(s) はセンサー ダイナミクス、k は調整可能なスカラー ゲインです。閉ループの極は、次の方程式の根です。

q(s)=1+kP(s)H(s)

根軌跡法は、k が変化するにつれ、複素平面上の閉ループ極の軌跡をプロットするものです。このプロットを使用して、求める一連の閉ループ極に対応するゲイン値を求めることができます。

根軌跡のグラフィカルな調整を使用した電気油圧サーボ機構の調整

この例では、根軌跡のグラフィカルな調整手法を使用して電気油圧サーボ機構の補償器を設計する方法を説明します。

プラント モデル

簡単な電気油圧サーボ機構モデルは次から構成されます。

  • プッシュプル増幅器 (電磁石の組み合わせ)

  • 高圧作動油の管内のスライディング スプール

  • 管内の作動油量を調整するバルブ

  • 負荷を加えるためのピストン駆動ラム付きセンター チャンバー

  • 左右対称になっている作動油の戻り管

スプールに加える力は、電磁気コイルに流れる電流に比例します。スプールが移動するにつれバルブが開き、高圧作動油がチャンバーに流れます。移動する作動油は、スプールの反対方向にピストンを移動します。このモデルの詳細については、線形化モデルの導出も含め、[1]を参照してください。

電磁石への入力電圧を使用すると、ラムの位置を制御できます。ラムの位置測定が使用可能な場合は、次に示すように、ラムの位置制御にフィードバックを使用できます。ここで、Gservo はサーボ機構を表します。

設計要件

この例では、次の閉ループ ステップ応答要件を満たすように補償器 C(s) を調整します。

  • 2% の整定時間が、0.05 秒未満。

  • 最大オーバーシュートが 5% 未満

制御システム デザイナーを開く

MATLAB® コマンド ラインでサーボ機構の線形化モデルを読み込み、根軌跡エディターの構成で制御システム デザイナーを開きます。

load ltiexamples Gservo
controlSystemDesigner('rlocus',Gservo);

アプリが開き、既定の制御アーキテクチャ [Configuration 1] のプラント モデルとして Gservo がインポートされます。

制御システム デザイナーで、[根軌跡エディター] プロットと入出力の [ステップ応答] が開きます。

開ループ周波数応答と閉ループ ステップ応答を同時に表示するには、[表示] タブの [左/右] をクリックします。

アプリにより、[ボード エディター][ステップ応答] のプロットが並べて表示されます。

閉ループ ステップ応答プロットで、立ち上がり時間は約 2 秒であり、設計要件を満たしていません。

根軌跡図を読みやすくするためズーム インします。[根軌跡エディター] で、プロット領域を右クリックし、[プロパティ] を選択します。

[プロパティ エディター] ダイアログ ボックスの [範囲] タブで、[実軸][虚軸] の範囲を -500 から 500 までに指定します。

[閉じる] をクリックします。

補償器のゲインの増加

応答速度を上げるには、補償器のゲインを増やします。[根軌跡エディター] で、プロット領域を右クリックし、[補償器の編集] を選択します。

[補償器エディター] ダイアログ ボックスで、20 のゲインを指定します。

[根軌跡エディター] プロットで、新しいゲイン値を反映して閉ループの極配置が移動します。また、[ステップ応答] プロットも更新されます。

閉ループ応答は整定時間の要件を満たさず、好ましくないリンギングを示します。

ゲインを増加させるとシステムは不足減衰となり、さらに増加させると不安定になります。このため、設計要件を満たすには、追加の補償器ダイナミクスを指定しなければなりません。補償器ダイナミクスの追加と編集の詳細については、補償器のダイナミクスの編集を参照してください。

補償器への極の追加

補償器に複素共役極ペアを追加するには、[根軌跡エディター] でプロット領域を右クリックし、[極/零点の追加][複素数の極] を選択します。片方の複素数の極を追加するプロット領域をクリックします。

アプリにより複素共役極ペアが赤色の X として根軌跡プロットに追加され、ステップ応答プロットが更新されます。

[根軌跡エディター] で、–140 ± 260i 付近の位置に新しい極をドラッグします。一方の極をドラッグすると、他方の極は自動的に更新されます。

ヒント

極や零点をドラッグすると、その新しい値が右側のステータス バーに表示されます。

補償器への零点の追加

補償器に複素数の零点ペアを追加するには、[補償器エディター] ダイアログ ボックスで [ダイナミクス] テーブルを右クリックし、[極/零点の追加][複素数の零点] を選択します。

アプリにより、補償器に –1 ± i で複素数の零点のペアが追加されます。

[ダイナミクス] テーブルで、[複素数の零点] 行をクリックします。次に、[選択したダイナミクスの編集] セクションで、[実数部]-170[虚数部]430 を指定します。

補償器と応答プロットは自動的に更新され、新しい零点の位置が反映されます。

[ステップ応答] プロットで、整定時間は約 0.1 秒であり、設計要件を満たしていません。

極と零点の位置の調整

補償器の設計過程には試行錯誤が伴います。設計基準を満たすまで、補償器のゲイン、極配置および零点の位置を調整します。

設計要件を満たす補償器の設計の 1 つとして以下が考えられます。

  • 補償器のゲインは 10

  • –110 ± 140i に複素数の極

  • –70 ± 270i に複素数の零点

[補償器エディター] ダイアログ ボックスで、これらの値を使用して補償器を設定します。[ステップ応答] プロットで、整定時間は約 0.05 秒です。

正確な整定時間を確認するには、[ステップ応答] プロット領域を右クリックし、[特性][整定時間] を選択します。整定時間のインジケーターが応答プロットに表示されます。

整定時間を表示するには、整定時間のインジケーターにカーソルを移動します。

整定時間は約 0.043 秒であり、設計要件を満たしています。

参照

[1] Clark, R. N. Control System Dynamics, Cambridge University Press, 1996.

参考

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